CHAPITRE IL

DES ÉPICTCLOIDES.

469. {PL kl-ifig- ï •) Une courbe mobile jca/ est dite rouler sur une courbe fixe XAY, lorsque des éléments égaux ah = AB, hc = BC, cd = CD,..., viennent s'appliquer respectivement les uns sur les autres, de telle sorte que le point 6 arrive à coïncider avec B, ensuite c avec C, d avec D, et ainsi des autres. Gda éqtiivaut à dire que le lieu du contact, qui est actuellement en A et a, doit parcourir, dans le même temps, des espaces égaux sur les deux courbes à la fois; tandis que, si ca espaces étaient inégaux, et que Je point b vint à coïncider avec C, il y aurait à la fois roulement et glissetnerU d'une courbe sur l'autre; et enfin, il n'y aurait qu'un ample glissement, sans aucune rotation, si c'était le même point a de la courbe mobile qui vint coïncider successivement avec B, C, D,.... D'ailleurs, ces distinctions s'appliquent pareillement à des courbes gauches, comme à celles qui seraient situées dans le même plan ou dans des plans différents, pourvu que la courbe mobile ait toujours une tangente commune avec la courbe fixe.

470. Pendant la rotation de la courbe xaj, un point quelconque m, fixe sur cette ligne mobile et entraîné avec elle, décrira dans lespace une autre courbe mz que nous allons apprendre à construire par divers exemples; mais, dans tous les cas, la tangente m/, relative à une position quelconque, sera toujours perpendiculaire à la droite A m, qui réunit le point générateur avec le point de contact correspondant. En effet, lorsque les deux courbes x/et XY se touchent en A, elles ont en cet endroit un élément commun AA' ; or, pendant que les deux éléments ainsi confondus se détachent, et jusqu'à ce que les éléments voisins a6 et AB soient parvenus à coïncider, le sommet A reste immobile, et le pointgénérateur m décrit un arc mm' infiniment petit et situé évidemment sur la sphère du rayon Am. Donc, la tangente mt^ qui doit être le prolongement de cet élément mm\ sera bien perpendiculaire à la droite A m, laquelle se trouve ainsi nQïmak à U courbe numlii*

GHAPITRS II*----D£S ÉPIGYGLOIDES. ail

D'ailleurs on voit bien que ce raisonnement s'appliquerait de même à tout point n qui, sans être situé sur le périmètre de la courbe roulante x/^ se trouverait lié fixement avec elle, et décrirait une autre courbe nu dont la normale serait encore An. Donc, dans tous les cas, la droite qui joint le point de contact de la courbe roulante avec le point générateur, est une xtoraiale à la courbe que décrit ce dernier point.

Si Ton voulait conserver à la démonstration précédente toute la rigueur de forme

dont eH^ est susceptible» il faudrait d'abord substituer aux deux courbes x/ et

Xy deux polygones {Jig. a) à côtés respectivement égaux; puis, en les faisant

rouler Tun sur l'autre, de manière que leurs pians fissent entre eux un angle

constant ou variable, le point m décrirait une ligne discontinue mm'm!\.. com*

posée d'arcs sphériques qui auraient leurs centres successifs en A, B, C,..., et tellci

que la tangente mt Ai point m serait perpendiculaire sur A m. Or il est évident que

cette dernière propriété subsistera toujoui*s, quelle que soit la grandeur des côtés

et des angles des deux polygones : seulement, à mesure que les angles augmentent

et que les côtés décroissent, les arcs mm\ m'm",,.., diminuent de longueur, et

deux rayons consécutifs sont plus près d'être égaux, ce qui rapproche de plus en

plus la ligne mm' m".,, d'une courbe continue. Donc, puisque dans toutes ces va*

riations l'angle Amt reste constamment droit, il en sera encore de même quand

les deux polygones seront devenus deux courbes quelconques, par exemple deux

cercles; ainsi, dans ce dernier état> la courbe continue décrite alors par le point

m aura pour tangente en m une droite perpendiculaire sur Am.

Épîéfcloîdes planes.

4tl^. Premier cas. {PL kl^fiS' 3.) Considérons un cercle mobile O^ qui roul« extérieurement sur un cercle fixe O, eu demeurant toujours dans le même plan que ce dernier, et adoptons pour point générateur le point de contact actuel D de ces deux circonférences. Lorsque le cercle O' aura roulé jusqu'à toucher l'autre en un point quelconque A4, on retrouvera la position correspondante M du point générateur D, en décrivant, du point O^ comme centre et avec le rayon O'D, une circonférence sur laquelle on prendra un arc A4 M de même longueur absolue que l'arc A4D, ce qui s'effectuera en mesurant ce dernier au moyen d'une très*>petite ouverture de compas. Mais ces opérations s'exécuteront avec plus de rapidité, si l'on a eu soin d'abord de diviser la circonférence mobile en parties égales, et de les reporter sur le cercle fixe suivant DA|, A«A2^ A^A,,...; car alors il sufi&ra de décrire deux arcs de cercle, l'un du centre 0^4 avec un rayon 0'4M sr O'D, l'autre du centre A4 avec un rayon A4 M égal à la corde D4 du cercle primitif (X. Des constructions semblables effectuées pour d'autres points de contact Ag, A^,..»^ parmettront de tracer aisément U courbe DMGF BOBUoée ÉPictcLOinB extérieure f

ai a LIVRE VI. —QUESTIONS DIVERSES.

laquelle comprend une infinité de branches identiques à celles que nous venons de citer, et qui se rattachent les unes aux autres par des points de rebroussement tels que D et F.

472. La tangente au point M de cette courbe sera précisément la droite MT, corde supplémentaire de MA4, puisque nous savons (n^470) que cette dernière est normale à Tépicycloïde. Cette propriété fournit même un tracé beaucoup plus simple et bien suffisant pour les engrenages; car, si Ton décrit divers arcs de cercle ayant pour centres les points A,, Aj, A,,.--> ^^ pour rayons les cordes Di, Da, D3,,.., du cercle primitif O'; puis, si Ton trace une courbe enveloppe de tous ces arcs, cette enveloppe sera précisément Tépicycloïde DMGF, attendu que les cordes dont nous venons de parler indiquent évidemment (n°470) les longueurs des normales telles que MA4, qui aboutiraient aux points de contact successife A|, A,, A,,..., du cercle mobile. C'est la méthode proposée par M. Poncelet.

473. On pourrait adopter un point génépateur D' situé hors du cercle mobile, mais lié avec celui-ci d'une manière invariable. Alors ce point D' décrirait une courbe à nœud D'M'G'... que Ton nomme épicjrcloide rallongée, et qui se construirait en prenant, sur chaque rayon O'^M, déterminé comme au n^471, une distance MM' = DD'. La droite A* M' serait encore (n^470) normale à cette courbe j ainsi la tangente M"F devra être menée perpendiculairement kk^^W.

Si le point générateur D"^ était en dedans du cercle mobile^ la courbe décrite alors serait une épicycloide raccourcie D'^M'^G", laquelle offrirait des points d'inflexion au lieu d'un nœud* Un point quelconque M'' de celte courbe s'obtiendra aussi en prenant, sur le rayon Cy4M, construit comme au n^ 471, une distance MM'' = DD"; et puisque la droite A4M'' sera encore (n^ 470) normale à cette épicycloide, la tangente WT' s'en déduira immédiatement.

On pourrait aussi (n® 472) se contenter de tracer ces courbes comme Tenveloppe de tous les arcs décrits des centres A|, Aj, A,,,.., avec les normales D'i , D'à, D'3...,ouiyi,D"a, D-'S,....

474. Deuxième cas. {Fig. 40 Lorsque le cercle mobile O' roule dans la concavité du cercle fixe O, et que le premier a un rayon R' < ^ R, le point générateurD décrit une épicycloide intérieure qui présente la forme DGF, et qui se construit, du reste, comme précédemment. Si Ton choisissait le rayon R' = |R, comme dans la fig. 5, la courbe DMFD'F' aurait une forme et une équation toutes semblables à celles de la développée de l'ellipse {fig, 76), avec la seule différence que les quatre points de rebroussement seraient ici placés à égales distances du centre {voyez la note du n^ 492).

475. (Fij. /|.) Épicycloide rectiligne. Ce cas très-particulier, et fort utile pour les Mgranages, se présente quand on choisit le cercle mobile O' de manière que son rayon R" = ^R; car alors Tépicycloîde décrite par un point du cercle O* se