CHAPITRE II. — DES ÉPICYCLOIDES. ai

trouve confondue qoec te diamètre Tï'OD qui passe par la position initiale D" du point générateur. En effet, si nous considérons le cercle mobile à une époque quelconque de sa rotation , où il touche le cercle O en A et où il coupe le diamètre lyOD en M, il suffira de prouver que les arcs AM et AD'' sont égaux en grandeur absolue, puisque alors il sera certain que le point générateur, placé d*abord en D*', sera venu en M sur le diamètre D^OD. Or l'angle AO*M est évidemment double de AOiy ; donc les arcs AM et AD" sont aussi doubles Tun de Tautre, quant au nombre de degrés qu'ils contiennent : mais le premier de ces arcs appartient à une circonférence qui n'est que la moitié de l'autre ; donc la longueur absolue de AM égale celle de AD''.

476. Troisième cas. {Fig. 6.) Supposons maintenant que le cercle mobile O', qui roule dans la concavité du cercle O, ait son rayon R' > «IR; je dis que l'épicycloïde DGF, décrite alors par le point générateur D, coïncidera avec celle que décrirait un troisième cercle O'^ qui aurait un rayon R" = R — R', et qui roulerait en sens contraire de O'. Pour le prouver, je considère le cercle mobile (y parvenu dans la situation quelconque (y, où le point générateur D occupera une position M telle que l'arc AM = AD : je tire la droite MO'a, et sa parallèle OB; puis, j'achève le parallélogramme OCKaMO'', qui me donne O'^B = O'^M =:R — R', et je trace enfin le cercle O". Cela fait, il n'y a plus qu'à démontrer que les arcs BM et BD ont la même longueur absolue; or les trois arcs BA, AM, MB, qui mesurent des angles évidemment égaux, doivent être proportionnels à leurs rayons, ce

qui donne

BA AM BM.

et puisque Ton a pris R'' -f- R' = R, il en résulte que BM + MA == BA : mais déjà l'on sait que l'arc AM = AD; donc il reste BM = BD.

477. Quatrième cas. {Fig. 7.) Enfin, supposons que le cercle mobile CM ait un rayon R' > R, auquel cas il enveloppera le cercle fixe- Alors Tépicycloîde décrite par le point générateur D se trouvera extérieure, et chaque branche DGF occupera, sur le cercle fixe, un arc DEF égal à l'excès de la circonférence O' sur la circonférence O. D'ailleurs on démontrera aisément, comme au n** 476, que cette épicycloïde DGF coïncide avec celle que décrirait un cercle O*' tangent extérieurement au cercle O, et dont le rayon serait R" = R' — R.

478. {Fig. 8.) Lorsqu'on suppose infini le rayon R du cercle fixe, ce cercle devient une droite DAF sur laquelle roule le cercle O'; et un point quelconque M de la circonférence de ce dernier décrit alors la cjrcbïde DMGF, dont la normale est encore MA et la tangente MT. Le tracé de cette courbe s'effectuera aisément par les moyens indiqués aux n^» 471 et 472, sans qu'il soit besoin de les répéter ici- D'ailleurs, la cycloïde serait raUongée pu raccourcie, comme au n^475, si le

ttl4 UyRB TI. —QUESTIONS DIVGRSU.

poiut générateur était placé an dehors ou au dedans du cerde mobile. Quant aux autres lignes de cette figure, nous en parlerons au n^ 823 bis.

479. (F/gr. 9.) An contraire, si c'est le cercle mobile qui acquiert un rayon infini, ce cercle deviendra une droite indéfinie DX, qui, en roulant sur la circonférence O, décrira, par chacun de ses points D, une spirale DM'ATM"..., laquelle n'est autre choseque la développante du cercle O (n^ 197). D'ailleurs, comme les normales M'A', M'' A",..., sont précisément les rayons de courbure (n** 198) de cette spirale, si des points A', A'\ A'',..., on décrit avec des rayons égaux à Dm^t Do', Da*",..., des arcs de cercle, ces arcs se confondront dans une étendue assez considérable avec la spirale même, et ils fourniront un moyen très-exact et très-commode pour tracer cette courbe.

Èpicjrcloldes sphériques,

480. (i^iV^. 9g.) Considérons maintenant deux cercles OA et CA, dont le second roule sur le premier, en lui demeurant toujours tangent, mais de manière que leurs plans fassent entre eux un angle constant CAX = o : pendant cette rotation, un point quelconque M, fixe sur la circonférence mobile et entraîné avec elle, décrira dans l'espace une courbe DM... qui se nomme une épictgloîde sphériqui, parce qu'elle est située tout entière sur la surface d'une sphère constante. £n effet, si, par les centres des deux cercles^ on élève sur leurs plans les perpendâculaireB OS et CS) oes deux axes iront se rencontrer nécessairement dans chacune des positions du cercle mobile; car, pour chaque point de contact tel que A, les plans AOS et ACS se trouveront évidemment perpendiculaires à la tangente commune AV, et dès lors ils coïncideront. D'ailleurs, comme l'angle OAC est le supplément ée CAX s éd, qui demeure constant pendant la rotation, il s'ensuit que le quadri<> latère OACS aura deux côtés et trois angles dont la grandeur restera invariable, et consèquemment il en sera de même pour les côtés OS et CS» dont le point de rencontre demeurera immobile. D'où il résulte que la distance de ce point S au point mobile M sera constamment égale à SA, et qu'ainsi l'épicycloïde tout entière -we troufera situé sur la sphère qui aurait SA pour rayon*

481. En outre^ si l'on imagine deux cônes de révolution^ ayant pour sommet craamun le point S, et pour bases les cercles OA et CA, il est évident que c^ cônes auront un plan tangent commun SAV ; et, par conséquent^ la génération de Tépicycloîde peut s'énoncer de la manière suivante : Si deux cônes de réuohaion, qui ont toujours même sommet et des génératrices de même longueur^ roulent [un sar l'autre , sans glisser, et en demeurant tangents le long d'une génératrice variable, un point quelconque, fixe sur la base du cône mobile, décrira la courbe nommée épir 4^Unde sphérique. En elFet, on doit voir que, par là, les circonierences des deux kâseaSMont toujours tangenies, #t qu« leurs piftos conservMowt me incHnaison