CHAPITRE II» ^ DBS ÉPICTGLOIDl

constante; et même c'est là le moyen le plus commode pour réaliser mécanique* ment ces deux conditions pendant le roulement du cercle mobile sur le cercle &%e,

482. (Fig. joo.) Construisons la projection de Tépicycloïde sur le plan de la base du cône fixe, en regardant ce plan comme horizontal, et adoptons pour plaa vertical celui qui passe par Taxe S'O de ce cône et par le point de contact A des deux bases^ dans la position actuelle qui se rapporte à une époque quelconquti du mouvement. D'après cela, les deux cônes seront projetés verticalement sur les triangles isocèles S'AE, S'AB\ et la droite AB' représentera la projection verticale du cercle mobile qui, rabattu autour de la tangente commune AV, deviendra le cercle Amfr. Cela posé, soit D l'origine de Tépicycloïde, c'est-à-dire la position qu'occupait le point générateur, quand il se trouvait en contact avec le cercle fixe : maintenant que le cercle mobile a parcouru, en roulant sur l'autre, l'arc DA, le point générateur se trouvera placé sur le rabattement en m, à une distance curviligne A m, égale en longueur absolue à l'arc AD(*), Mais en relevant le cercl?Am6 autour de AV, on voit bien que le point (m, m') va décrire alors un arc perpendiculaire à la charnière AV, lequel se trouvera projeté horizontalement sur la droite mM, parallèle à la ligne de terre, et verticalement sur m'M'; d'où Ton conclura que (M, M') est un point de Tépicycloide demandée.

483. Pour en obtenir im second, il faudra imaginer que le cercle mobile a ronlé jusqu'à veqir toucher le cercle fixe en A«, par exemple : alors, on pourrait recommencer, sur le plan vertical OAe rabattu, des opérations semblables à celles que nous avons exécutées sur le plan vertical OA; mais il sera bien plus simple de ramener toutes les constructions à s'effectuer sur ce dernier. Pour cela, imaginons que les deux cônes, parvenus à se toucher le long de l'arête qui aboutit en A^, tournent simultanément, et sans changer leurs positiçns relatives^ autour de la verti-» cale OS', jusqu'à ce que le rayon OA^ vienne coïncider avec l'ancienne ligne de terre OAX. Alors le point générateur sera situé sur le cercle mobile rabattu^ non plus en m, mais à une distance An, égale à l'intervalle DAe compris entre l'origine Det le point de contact dans sa vraie position, qui est A«. De sorte que si Ton construit, comme ci-dessus, les projections N et N' du point rabattu n^ il n'y aura ' ■ ** —II.. ,. ■ ■ . I . .1 .1 ■ ■ ■ .,1 <■ ■ ji <iij, , ,, ,11 ,| ,, „

(^) Po!|r tracer Tépure, il est bon de oommenoer par diviser le cercle mobile en parties égaUa» de mesurer une de ces parties au moyen de très«petites cordes; puis» de transporter c^Ues-ci ^ur le cercle iixe, ce qui donnera un arc égal à Tune des divisions du cercle mobile. Ensuite, on répétera cet arc du grand cercle autant de fois qu'il y avait de divisions dans le cercle mobile , et Ton obtiendra l'étendue DAF occupée par une branche de Tcpicycloide, sur le cercle fixe. Cependant, si le rapport des deux rayons AO et C'A était exprimé par un nombre assez simple, il serait plus exact de prendre d'abord sur le cercle fixe un arc DAF, égal à une fraction de cette circonférence, exprimée par oe rapport; puis, on diviserait Tare DAP en autant de parties égales qu'on eo aurait marqué dans te emdenobUe*

ai6 LIVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES.

plus qu'à ramener OA en OAa, puis à trouver un point N" placé, relativement à cette dernière droite, dans une situation toute semblable à celle de N par rapport à OA; ce qui s'exécutera au moyen du cercle décrit avec la distance ON, sur lequel on prendra Tare FN" égal à IN.

484. On agira de même pour toute antre position du point de contact des deux cercles ; et quand ce contact aura lieu au milieu K de Tare DKF, égal à la circonférence du cercle mobile, on voit bien que le point générateur se trouvera rabattu en 6, qui se projette en B' et B : si donc on ramène ce dernier point sur OK, au moyen d'un arc de cercle BG, on obtiendra le sommet G où la projection horizontale de l'épicycloïde s'écarte le plus du cercle fixe.

Observons enfin que les points D, M, W, transportés symétriquement au delà du rayon OG, au moyen d'arcs de cercle, fourniront des points F, M*, N", qui appartiendront encore à Tépicycloide, laquelle aura pour axe la droite OG, et admettra une infinité de branches identiques avec DGF.

485. Les constructions précédentes donnent auœi le moyen de tracer la projection verticale de Tépicycloîde, puisque M' appartient à cette projection ; et quant au point (N, N')> qui a été transporté en N", sans changer de hauteur,x>n retrouverait bien aisément sa projection verticale dans cette dernière situation. Mais nous n'avons pas voulu effectuer ce tracé, dans la crainte de rendre l'épure un peu confuse, et surtout parce que nous regardons ici le plan vertical de projection, seulement comme un moyen d'exécuter nos opérations graphiques, et non comiue existant réellement} attendu que sa présence aurait rendu invisibles une grande partie des lignes de l'épure. D'ailleurs l'épicycloïde est sufiSsamment déterminée par l'intersection du cylindre vertical DMGF, avec la sphère du rayon S'A qu'il est facile de représenter sur le plan horizontal.

486. De la tangente à Vépicjrcldide. {Fig. loo.) Puisque cette courbe est tout entière (n^ 480) sur la sphère fixe qui a pour centre le sommet S' et pour rayon 1 apothème S'A, le plan tangent de cette sphère en (M, BT) renfermera déjà la tangente demandée. Ensuite, comme nous avons démontré au n^ 470 que la droite ( AM, AM'), qui joint le point générateur avec le point de contact correspondant A, est une normale k l'épicycloïde, nous en pouvons conclure que la tangente cherchée se trouve aussi dans un plan perpendiculaire à cette droite, lequel peut être regardé comme le plan tangent d'une sphère qui aurait son centre en A, et pour rayon la droite (AM, AM'); mais cette seconde sphère est variable de position et de grandeur, en passant d'un point à un autre de l'épicycloïde, et elle ne feit que toucher cette courbe avec laquelle elle n*a de commun qu'un élément linéaire. D'après cela, le problème se réduit à chercher Tintersection du plan tangent à ta sphère fixe avec le plan tangent à la sphère variable.

487. Pour y parvenir, coupons ces deux sphères par le plan B'AY, qui contient

GHAPITRB II, — DES ÉPICTCLOIDES. 21^

la base AB' du cône mobile. La section faite ainsi dans ]a sphère S'A sera évidemment le cercle AB' lui-même; rab&ttons-le suivant Amb^ et menons-lui la tangente mP qui, étant relevée, rencontrera le plan horizontal en P sur la charnière AV : dès lors ce point P appartiendra à la trace horizontale du plan tangent de la sphère S'A, et cette trace sera la droite PT menée perpendiculairement sur la projection OM du rayon qui aboutit au point proposé (M, M'). Quant à la sphère yariable dont le rayon est (AM, AM'), elle est coupée par le plan B'AV suivant un grand cercle qui, rabattu sur le plan horizontal autour de AV, deviendra le cercle décrit avec Am pour rayon. Menons-lui la tangente mQ (laquelle doit aboutir au point 6), et relevons cette droite avec son cercle, pour trouver sa trace horizontale Q sur la charnière AV; dès lors ce point Q appartiendra à la trace du plan tangent de la sphère variable, et cette trace s'obtiendra en menant QX perpendiculaire sur la projection AM du rayon correspondant. Gela posé, les traces QX et PT des deux plans tangents allant se couper au point T, la droite TM sera la projection horizontale de la tangente à Tépicycloïde; et la projection verticale T'M' s'en déduira, en projetant le point T sur la ligne de terre.

488. jiutre méthode. {Fig. loo.) On peut obtenir cette tangente d'une manière beaucoup plus simple, par le procédé du plan normal (n^ 214), car ici nous connaissons immédiatement deux normales à Tépicycloïde : l'une est le rayon de la sphère constante, mené du sommet S' au point (M, M'); l'autre est la droite (MA, M^A), d'après ce que nous avons prouvé au n^ 470. Par conséquent, si nous faisons passer un plan par ces deux normales, la tangente cherchée devra lui être perpendiculaire, et ses projections seront ainsi déterminées. Or la première de ces normales va évidemment percer le plan vertical en S', et la seconde en A; donc S'A est la trace verticale du plan normal. Quant à l'autre trace, imaginons, dans le plan normal, une droite auxiliaire parallèle à S'A ; ses projections M'R, MR donneront le point R, où elle perce le plan horizontal ; et, par suite, AR sera la trace horizontale du plan normal. Dès lors la tangente à l'épicycloïde s'obtiendra en me>nant MT perpendiculaire sur AR, et M'T' perpendiculaire sur AS'.

489. Il importe d'observer qu'aux points de rebroussement D et F, la projection horizontale de l'épicycloïde a pour tangentes les rayons OD et OF. En effet, la droite variable (AM, AM'), à laquelle la tangente dans l'espace est toujours perpendiculaire, étant prolongée indéfiniment, est une sécante par rapport au cercle mobile, comme on le voit par son rabattement Am. Or, ses deux points de section A et m se trouvant réunis quand le point de contact A du cercle mobile est arrivé en D, la droite indéfinie rabattue suivant Am devient alors tangente au cercle mobile dans le point m, et, par suite, tangente au cercle fixe dans le point D, puisque à cette époque les deux cercles sont en contact par les points m et D. Donc la tangente au point D du cercle fixe DA se trouvera être précisément la normale de

l'épicycloïde et en même temps la trace horieôntâlè du plan normal; M, e&Ufté* quemment) la tangente dé Tépicyclolde sera pi^ojetée hôritohtàlemeiit Mt le rayon ODX'.

Quatit à la projection verticale de cette même tâtigetite^ il suffira de pit>jitef son pied D en ly ftuf la ligne de terre, et d*abaisser de ce dernier point tinê pél^n^ diculaire sur la trace Verticale du plan normal relatif au point D. Or cette tface s'obtiendra fort aisément^ puisqu'elle passera évidemment par le point 8% et par le point où la ligne de terre rendotitrefa la seconde normale^ qui esti <Sômme tKnii venons de le prouver^ confondue avec la tangente de rât*o DA;

on agira d'une manière toute semblable pour trouver les projections de la tftn^ gente à l'autre extrémité F de l'épicycloïde; et l'on doit apercevoir que diâeune de ces tangentes en D ou en F coïncide préaisément àvee la tangente du gmttd ceivfe verdcâl de là sphère constante dont le rayon est S'A.

490. Pour le sommet de l'épicycloïde, qui est projeté en G, la tangente sera horizontale et perpendiculaire au plan vertical OKG; car ce plan contiendra éfl* demment les deux normales du n'' 488, quand le point générateur sera parvenu à l^éxtrémité supérieure B' du diamètre mené par le point de contaet du cercle nlobile.

491. {Fig. lôo.) Lorsque nous avons cherché (n** 487) la trace QX du plan tangent à la sphère variable dont le rayon est (AM, AM'), nous nous sommes ap« puyés sur ce que ce plan devait contenir la tangente rabattue Suivant Qm6. Or, quand elle sera relevée dans le plan FAV du cercle mobile, elle ira percer le plâb vertical en fi'; donc B'X est la trace verticale du plan tangent à là Sphère variable. En outre, cette droite doit se trouver perpendiculaire à B'A, car 6*est sur cette dernière droite que se projette le rayon (AM, AM') mené au point de contact de ce plan tangent.

492. Observons d'ailleurs que, dans les diverses positions A, A, ,..., que prend le point de contact du cercle mobile, la projection AB' de ce cercle, sur les plans verticaux correspondants OA, OA^,.-., aura toujours la même grandeur et la même inclinaison; de sorte que pour tous ces plans, lé triangle rectangle AB'X restera invariable de grandeur, et, par suite, les traces XB^ des divers plans tangents aux sphères variables iront toutes rencontrer la verticale OS' au même point 2', De là il résulte que si l'on avait à considérer un cône dont le sommet ftlt en î?, et qui eût pour base répicycloïde sphérique, tous les plans tels que SE^XQ lui seraient tangents, puisque chacun d'euîc renfermerait le sommet et une tangente de la base. En outré, tous ces plans tangents viendraient passer successivement par la droite fixe Z'X, lorsque le Cône épkyrkndxxly en tournant autour de OZ^, amèneratt en M lès divers points N", G, N'^,,.. Cette propriété est employée dans les engrenages coniques, qUi sérVènt à fkire mouvoir les roues dûngles (vovefc le n^ 883) f*l.

[* ] Cherchons les équations qui déterminent répicycloïde sphérique {/g loo), en rapportant cette

^BZy mYmtOV?^m^S,ffmiQm, {Jl^ig, lo?.) Lûrwjueleççiï^wpbapgo. quif^Ft «pe fl»vç??|:ure ^el|e, q\\p l'aoglç BU ceptra ^SB {fig^ 99) «ÎPYient ég^i à |8q", ^ çdnQ pe r^qj^ ^ un Rerple dpn* le r^yQU égal^ V^pothèwp SA ^i» cône fi»e, et 4ppt Iç plftP es<>pgçnt ^ ce 4erQier çôpsi 4»»» sp ç»# p?rliçuliw. l'épicycloïde

ÇO^?^Ç ^\y^ IfÇJs axes rectangulaires OX', OT^ QZ', dont le premier passe p^r le poi^^ ^e rebrousse-

mei^t D. Si )'on pose

OS' = A, OA = R, CA = R', angleB'Aô = », •n a^fii éiiidemmoAt

pemr l'équalion de hi ^p^'e eoAStante, sur laquelle est située l'éptcycioide tout entière; de sorte que

eêUa courbe se tmuTera oamplét^tent déâode^ en joignant à )'équatioi| préoédepte celle de sa projectioii

IlomPHAie PMfiKt 0?t ^ SOi}A AppelQQ» ce T^lgl^ DOA.> oous isn conolurofts que

Ra R.a=:AD=:Am; d'où angle Acm = ~j-?

•( aIW 991» W»fQ^ MW 1« ««ûi4w»nfe# dv pfôpt W» wppQfté d'abord »Wt M«» OX et OY, jr z= OA -f- AH = R -f- ( R' — R' cos -^ I oos w ,

WW ipQVI^ reT«» 4p cp^ »ltÇS| qvî ^^r^Pi^t mpbil^^ avec te point 4^ pQWt^Çt A, a^c ^^ fiw OV ^t OT'i il fi^ut employer les fprmules cpnnues

^=: ^çp§a— jsin^j ^^=«sîn«tf-jrcQ|i*î

donc I en substituant ici les valeurs précédentes de a? et ^^ il viendra J

Ra Ra î

(a) «'=t(R^R'cos«)cosa — R'cosr-7 coS(»ûOSflt4-li'»î» gr»^n«,

(3) ^=B(ll^Il'co8w)dn«-.R'coê^oos%»sinii— R'rfn^cpsa.

Il resterait maintenant à éliminer Tjirc « entre ces deqx écjuatîons, pour obtenir celle de la copfbe DMGF sur le plan horizontal ; mais cette élimination ne pouvant s'effectuer que quand on aiuti 6xé numériquement le rapport des rayons R, R', et quand ce rapport sera un nombre commen^urable , PPVI gar4efqi^ ^ps d^wi^ écju^tfpft^ (a) er (3) q}ii W%pnt poqr «alcwler 1^ fipftfdQop^^ «^ e^jr' des divers points , en attri)>u^pt ^ s» différentes YJBd^l^rf s^cc^v^i

Pour passer de là à l'épicycloïde plane , Jl suffira de poser cos &» = rh i , selon que le cercle mobile roulera au dehors ou au dedans du cercle fixe ; et si, en nous arrêtant à ce dernier cas, nous supposons d'ailleurs que R' est le quart de R, conimp dai)s la/^. 5 ()e la PI, 47» Ips équqlions (2) et (3) deviendront

(4) a;' = |R cosa -f. |R ooaia cos4f« rh 7R sin a sin 4»,

(5) j^=^Rsina + -J^Rsina cos4a — ■yRçosasin4a; puis , si l'on substitue dans ces dernières les valeurs connues

cos4a= I — 8sin^aC0fl>a, mk^azs^si0ï»cosa(co%*a — sin'a),

aao LIVRE VI. — QUESTIONS DIVERSES.

décrite alors par un point '^M du cercle mobile, reçoit le nom de développante sphérique, attendu que la question revient à dire simplement que Ton fait rouler sur un cône fixe S'AO un de ses plans tangents S' AY, comme, dans la ^9. 9 de la PL 47, nous avions obtenu la spirale développante du cercle en faisant rouler sur cette cir* conférence une de ses tangentes.

494. {Fig. loi.) Comme la courbe en question est tout entière sur la sphère du rayon S^A, il suffira de construire sa projection horizontale. A cet effet , rabattons le cercle mobile dont le centre est au sommet (S', O)^ autour de la tangente AV qui lui est commune avec le cercle fixe; et sur ce rabattements'' prenons un arc Am égal à l'arc AD, si l'on adopte D pour l'origine de la développante^ c'est-à-dire pour la position qu'occupait le point générateur lorsqu'il se trouvait en contact avec le cône fixe. Alors m sera le rabattement de ce point générateur quand le contact est arrivé en A, et sa position véritable (M, M') se déduira aisément de là, en relevant le cercle S'" dans le plan tangent S' AV, autour de la charnière AV.

Lorsque le cercle mobile aura roulé jusqu'à toucher le cercle fixe en Aj, on imaginera que tout le système tourne simultanément, sans rouler, autour de la verticale S^O, pour amener le rayon OA^ sur la ligne de terre OA; alors, en prenant l'arc An = DA5, le point générateur se trouvera rabattu en n, et projeté en N et N' : maïs ensuite, pour reporter le cercle mobile dans sa vraie position, on décrira avec le rayon ON une circonférence sur laquelle on prendra Tare NN5 égal à Tare II5, compris entre les rayons OA et OA^; de sorte que Ns sera le point cherché. On trouvera ainsi DMN5PGQF pour la projection horizontale de la développante sphérique.

495. La tangente au point quelconque (M, M') devra être menée perpendiculaire sur le plan des deux normales dont nous avons parlé au n^ 488, lesquelles sont les droites qui réunissent le point générateur (M, M') avec le ceittre (O, S') et

on trouvera 9 en supprimant les accents qui deviennent inutiles à présent,

ar = Rcos3a, ^=:R«in»«.

Maintenant l'élimination de a est facile j car, en ajoutant ces équations après les avoir élevées à la puissance |, il restera pour répicycloïde représentée dans la /g:. 5 de la P/. 47,

Cest donc un cas particulier de la développée de Tellipse qui a pour équation

et ces deux courbes appartiennent à la famille des storvïdes, qui sont représentées généralement par