SUR LES SPHÈRES ET LES PYRAMIDES

497. Trouver l'intersection de trois sphères données. {Fig, 102.) Adoptons pour plan horizontal celui qui contient les centres A, B, G, des sphères proposées, et décrivons les grands cercles qui sont les traces horizontales de ces surfaces. Alors, si les circonférences A et B se rencontrent aux points D et £, il est clair que le cercle vertical, décrit sur DE comme diamètre, sera l'intersection des deux sphères Aet B ; tandis que les sphères A et G se couperont suivant un autre cercle vertical projeté sur FG. Maintenant, si les deux cordes DE et FG se rencontrent en M, on pourra affirmer que les circonférences projetées sur ces cordes se coupent effectivement en deux points qui seront projetés horizontalement en M; et ces points de l'espace se trouveront évidemment communs aux trois sphères en question. Pour achever de fixer la position de ces points, projetons-les sur un plan vertical quelconque XY ; en rabattant le cercle DE autour de son diamètre horizontal, et tirant l'ordonnée Mm» cette droite mesurera évidemment la hauteur de Tun des points cherchés

992 LITHE VI. •«-* QUS8TI01VS DIVERSES.

au«des9ui du plan horiKontal : donc, en prenant au*des8ii9 at au«dessoua da XY les dUtanoes IM' et IM'', égales à Mm> on obtiendra les projections (M| M') et (M, M'') des deux points demandés.

498. Si l'on avait cherché l'intersection des deux sphères B et C, on aurait obtenu un cercle vertical dont la projection iiK aurait dû néoep^irem^nt passer aufljii par le point M) d'où l'on peut conclure ce théorème de géom^tria plane : Qu^nd trais eirconjérences tracées dan» un même plan 90 coupent deux à dmvc^ tes pointsi dç §^tien correspondants se trompent situés sur d^s cordes qui passent toutes trois pnr un m^ point du plan.

490. Construire une pyr^amide triangulaire dont l^ six e^r^s sont connues d^ yrash deur. {Fig, ipa.) On tracera d'abord? sur le plan horizontal, une des facw ^BC de la pyramide, au moyen des trois arêtes données qui se rapportent k cette feoe; ensuite ou déterminera le quatrième sommet (M, M') en cherchant, oçmmf ddBs le problème précédent, l'intersection de trois sphères qui auraient pour cçptres les points A, B, G, et pour rayons les longueurs des trois autres arêtes assignées par la question. Il y aura évidemment deux pyramides symétriques l'mifl d^ l'autrSi puisque le dernier sommet peut être placé en (M, M') ou en (M^ W)\ et ol'ailleurs on trouvera, par les méthodes du livre I^, tout ce qui peut intéresser sur lep aogiss plans, les angles dièdres, etc., de chacune de ees pyramides,

500. Circonscrire une sphère à une pyramide triangulaire donnée- {Fig^ io3*) Soient (A, A'), (B, B'), (G, G'), (S, S') les projections des qus^tpe sommet^, wv <l*ux plans rectangulaires, dont un renferme la face ABG; si ces projections n'étaient pas données immédiatement, elles se détermineraient comme au problème précédent. Le centre de la sphère cherchée, devant être à égale distance de ces quatre sommets^ se trouvera à la fois dans les deux plans verticaux FO et GO, élevés perpendiculairement sur les milieux des arêtes AB et AC; donc ce centre sera quelque part sur 1^ verticale (O, VO')f intersection de ees plans. De même, il doit être contenu dans le plan ^\evé perpendiculairement sur le milieu d'upe troisi^iM uréte appartenant à une autre face, telle que (SA, S'A^) ; donc, si l'on prend Ift peine de construire les traces de ce plan, ainsi que le point où ii ira couper la verticale (O, V O'), on obtiendra le centre demandé. Mais comme ces opérations serai^Pt un peu longues, à moins qu'on n'ait eu le soin de choisir le plan vertical p9rAll^l^ à Taréte (SA, S'A'), on pourra ordinairement les remplacer par la eonstruction suivante }

Avec le rayon OB, traçons le cercle circcmsorit au triangle A^. CetfQ eircenférenee appartiendra à la sphère demandée, et si elle est coupée par le plap vertical SD parallèle k la ligne de terre, en un point (D, D')> ^^ pPUrpa di^e que la droite (SD, Sfjy) sera une corde de la sphère, paraUèk au pl^n vertiwlj p4r conséquent, le cfBtre de cette surface devra être situé dans le pif» lUi' élfr^ p«>¥*^'

GHAPITHE m* *^ 9U11 LM BPBIABS ET LB6 PTRAMIDES. aa3

diculftiremétit sur le milieu de cette corde* Or ce plan va Couper la verticale (O, V<y) au point (O, O); donc c'est là le centre de la sphère en question.

Quant au rayon de cette sphère^ qui est projeté sur (OB^ O'B'), on obtiendra sa Véritable longueur en le rabattant parallèlement au plan vertical suivant (06, 06'); donC) si des points O et O', avec un rayon égal à O'b'^ on décrit deux cercles, ce seront les contours apparents de la sphère demandée, qui est ainsi complètement déterminée de grandeur et de position «

501» Inscrire une sphère dans une pyramide triangulaire donnée* [Fig. 104.) Pre^ âons encore le plan d'une des faces ABC pour le plan horizontal, et soit (S, S') le sommet situé hors de ce plan. Si, par l'aréfe AB, nous menions un plan qui divi* sàt en deux parties égales l'angle dièdre formé par les faces SAB et GAB, ce plan bissecteur renfermerait évidemment tous les points de l'espace qui sont à égale distance de ces deux faces; donc la sphère demandée^ qui doit toucher chacune de celles-ci) aurait son centre situé nécessairement dans ce plad bissecteur. De même, deux autres plans bissecteurs menés suivant les arêtes AG et BG^ de ma« nière à diviser en deux parties égales les angles dièdres qui ont ces droites pour arêtes» Côtitiendraient aussi le centre cherché ; par conséquent^ ce centre est 6 rin** tersection de ces trois plans bissecteurs, c'est^^dire au sommet de la pjramide inté»rieure qu'ils forment avec la base primitive ABC : ainsi la question est ramenée à trouver le sommet de cette nouvelle pyramide, ou bien les trois arêtes qui y aboutissent.

Pour cela» mesurons d'abord l'angle dièdre SABC» en le coupant par un plaû Tertical SD, perpendiculaire à AB» et rabattons sur le plan vertical la section ainsi faite» laquelle deviendra évidemment l'angle S'D''H; construisons de même les angles S^Ë^^H et S' F' H qui mesurent les angles dièdres AC et BG, puis divisons ces tr^ angles plans chacun par moitiés, au moyen des droites D''I, Ë'^L, F^'K : alors <{es trois biflsectrices, ramenées dans les plans verticaux SD, SE, SF» appartiendraient aux faces de la pyramide intérieure , qui a aussi pour base le triangle ABC. Par conséquent, si l'on coupe ces bissectrices par un plan horizontal quelconque X' Y', on obtiendra trois points ()'S t") f"", qui, ramenés en ây s» f > appartiendront à la section triangulaire ct6c faite par le plan X'Y' dans la pyramide intérieure; donc ce triangle abc est maintenant facile à tracer, puisque ses trois côtés doivent être évi« demment parallèles à ceux de ABG. Alors» si l'on tire les droites Aa, B6, Ce» ce seront leê arêtes latérales de la pyramide intérieure, et elles devront aller se couper en un point unique O, qui sera la projection horizontale du centre de la sphère demandée*

Quant à la projection verticale O' de ce même centre, elle s'obtiendra en projetant le point O sur l'arête Ce' de la pyramide intérieure; et le rayon de la sphère sera k parpeadiculaire O'R' abaissée du centre sur la face inférieure. 2tenC| en

aa4 WVRE VL — IJDESTIONS DIVERSES.

traçant avec cette droite CyR' deux cercles dopt les centres soient en O et O', on

aura les projections de la sphère cherchée.

502. Si Ton désire connaître les points de contact de cette sphère avec les faces latérales, on pourra facilement construire les traces du plan indéfini qui contient la face SAC par exemple; puis, on abaissera du point (O, O') une perpendiculaire sur ce plan, par la méthode générale du n** 35. Mais il sera bien plus court d'observer qu'un plan perpendiculaire à AC, et mené par le point O, couperait la sphère et la face SAC suivant un grand cercle et une droite qui lui serait tangente ; d'ailleurs, cette droite rabattue sur le plan vertical, autour de (O, O'R'), deviendrait évidemment parallèle à S'£''. Si donc; sans tracer cette parallèle, on abaisse du point O' un rayon perpendiculaire sur S'E'', ce rayon ira couper le contour vertical de la sphère en un point qui sera le rabattement du point de contact cherché; et il sera facile ensuite de ramener ce point dans sa véritable position.

$03. {Fig. 104.) Les considérations employées au n*" 501 peuvent servir à résoudre ce problème général : Trouver une sphère qui soit tangente à quatre plans donnés. En effet, les quatre faces de la pyramide SABC, étant prolongées indéfiniment, formeront autour des arêtes AB, AC, BC, trois angles dièdres extérieurs et supplémentaires de ceux que nous avons employés ci-dessus, et ces nouveaux angles auront pour mesures S'D"B', S'E"C', S'F'X'. Donc, si l'on divise ces derniers en deux parties égales, par des droites qui couperont le plan X' Y' en des points analogues à ^\ 6", y", on pourra combiner trois à trois ces divers points pour former plusieurs triangles, tels que abc ; et ceux*ci conduiront à divers centres, tels que (O, O'). Par exemple, adoptons la droite D'^df' qui divise par moitiés l'angle extérieur S'D"B', et qui rencontre le plan X'Y' au point d'\ que l'on ramènera en c/sur le plan horizontal ; puis, conservons les deux anciens points t et f : alors nous obtiendrons le triangle cc^b" dont les sommets, étant joints avec A, B, C, fourniront le point (O", O'") pour le centre d'une sphère qui touchera la face SAB en dehors de la pyramide primitive, tandis qu'elle sera tangente aux trois autres faces prolongées à droite de SAB. De cette manière, on trouvera généralement huit sphères tangentes aux quatre plans indéfinis qui contiennent les faces de la pyramide SABC; car, en désignant par a, a', a'', les trois angles dièdres intérieurs, et par «, o)', w", les trois angles dièdres extérieurs, qui ont pour arêtes les côtés AB, AC, BC, on pourra évidemment adopter, pour centre de la sphère demandée, le point d'intersection des trois plans bissecteurs qui diviseront les angles dièdres compris dans chacune des combinaisons suivantes :

6C, os , Cl)

On sentira aisément pourquoi il faut exclure toute combinaison où entreraieBt