CHAPITRE IL

DE L'HYPERBOLOIDE A UKE NAPPE.

521. {Fig. 109.) Nous appellerons ainsi la surface particulière engendrée par une droite mobile A, qui s appuie constamment sur trois droites fixes B, B', B"', non parallèles à un plan unique, et dont deux quelconrfues ne se trouvent pas dans un même plan; parce qu'il sera démontré plus loin (n® 555) que cette surface est identique avec celle que nous avons déjà désignée sous ce nom au n^ 83. La construction des génératrices s'effectuera par le procédé générai du n* 5i3, qui deviendra ici très^simple, puisque les surfaces coniques auxiliaires se réduiront à des plans. Ainsi, après avoir pris un point arbitraire L sur la directrice B, on conduira par ce point deux plans dont T un passe par R', et l'autre par B"; puis, en cher» chant l'intersection de ces deux plans, on obtiendra une droite ALMN, qui s'ap* putera évidemment sur les trois directrices assignées. On arriverait au même ré* sultat, en construisant l'intersection de la directrice B'' avec le seul plan mené par L et la droite B'\ et en joignant ce point de section au point L. Ce procédé, appliqué successivement à d'autres points U, L'',..., de la droite B, fournira les diverses génératrices A, A% A'', A*",..., de l'hyperboloïde en question; et comme chacune ne peut évidemment occuper qu'une position unique, lorsqu'elle passe par un point donné L ou U, il s'ensuit que le mouvement de la droite mobile est complètement déterminé par la condition de s'appuj^er sur les trois directrices assignées,

522. Cette surface est nécessairement gauche; car deux génératrices quelconques A et A' ne pourraient se trouver dans un même plan, qu'autant que les droites B, B', B'', dont chacune a deux points communs avec A et A^ seraient ellesmêmes situées dans ce pian unique; ce qui est contraire aux conditions formellement imposées dans la définition du n® 521. D'ailleurs, ce raisonnement n'exigeant pas que les deux droites A et A' soient ici infiniment voisines, comme on le sup pose pour une surface gauche générale (n^ 510), il en résulte que, dans l'hyperboloïde, deux génératrices quelconques ne sont jamais dans un même plan.

525. [Fig. 110.) Si, parmi les trois directrices B, B', B", que l'on suppose n'être point parallèles à un plan unique, il y en siwixitdeux qui fussent dans un même plan B'CB', la droite mobile A ne pourrait satisfaire aux conditions imposées que des deux manières suivantes : 1*^ en passant constamment par le point de section C et en glissant sur B, ce qui lui ferait décrire le plan CDB; a^ en tournant dans le plaa B'CB", autour du point D où il est rencontré par la droite B. Donc, alors, la surface décrite serait le système^ de deux plans qui se couperaient. Mais cette variété de l'hyperboloïde, qui est analogue au cas d'une hyperbole réduite à ses asymp» totes, ne présentant aucune recherche nouvelle, nous continuerons à exclure

GHAPITIB n. — BYFBUOLOIDB A UNB NAPPE. a5S

dorénavant Fhypothèse toute particulière qoe deux des directrices soient dans un même plan.

524. {Fig. 109.) L'hyperboloïde à une nappe jouit d'une propriété bien re* marquable, et fort importante pour la détermination des plans tangents aux sur» faces gauches générales : c'est qu il admet un second mode de génération par la ligne droite, dans lequel les premières génératrices deviennent directrices, et réciproquement. C'est-à-dire que, si l'on fait glisser une droite mobile sur trois quelconques des droites A, A', A", A'",..., que nous venons de construire, cette nouvelle généra'^ irice, qui coïncidera évidemment dans trois de ses positions avec B-, B', B", décrira UM surface inENTiQUB avec le premier kjrperboloide, tant pour la forme que pour la position. Mais avant de démontrer cette belle propriété, nous rappellerons deux théorèmes connus de la théorie des transversales.

525. Lemme P'. {Fig. m.) Lorsque, dans un triangle ABC, on mène une transversale quelconque PQR, qui, en coupant leurs trois côtés ou leurs prolongements, forme six segments, le produit de trois segments non contigus est égal au produit des trois autres segments; c'est-à dire que l'on a

(jc) AP.CR.BQ = AQ.BR.CP.

En effet, menons la droite BH parallèle à PQR, et nous aurons évidemment le$ proportions

AQ:QB::AP:PH = ^^^, cr:br::cp:ph = ^^}

puis, en égalant le^ deux valeurs de PH, on obtiendra la formule (x).

526. Lemme IL {Fig. iia et îi3.) Si dans un quadrilatère gauche ABCD on trace deux droites MN et PQ, qui, eu s'appuyant chacune sur deux côtés opposés, ou sur leurs prolongements, se coupent elles-mêmes en un certain point O, le produit de quatre segments non contigus sera toujours égal au produit des quatre autres segments; c'est-à-dire que l'on aura

{y) AP-BN.CQ.DM = AM.DQ.CN.BP.

D*abord, observons que si les deiîx transversales MN et PQ se coupent effectivement, elles doivent être dans un même plan, lequel contiendra les droites PN et MP, qui, par conséquent, iront se couper en un certain point R; mais comme ces droites PN et MQ se trouvent, l'une dans le plan du triangle ABC, l'autre dans le plan du triangle ADC, et que ces plans se coupent suivant la diagonale AC, il faudra que le point de rencorf^re R des lignes PN et MQ soit placé précisément sur cette diagonale. D'où il suit que, pour obtenir dans un quadrilatère gauche dans trawversalei opposées qui se coupent réeUement^ on peut prendre k volonté

a36 LIVRE vu. — SES 8URFAGBS GAUGHS8.

Tune d'entre elles MN^ et choisir arbitrairement le point P de la seconde; mais ensuite on devra tracer la droite PNR, qui ira couper la diagonale AC en un point Ry puis tirer RM , qui déterminera la position du point Q, quHl faudra joindre avec P.

Cela posé, les triangles ÂBC et ÂDC, coupés par les transversales PNR et MQR, donnent, d'après le lemme précédent,

AP.BN.CR = AR.CN.BP, CQ.DM.AR = CR.DQ.AM;

d'où| en multipliant ces égalités membre à membre, et supprimant les (acteurs communs, on déduit la relation annoncée,

(7) AP.BN.CQ.DM = AM.DQ.CN.BP,

laquelle peut s'écrire ainsi :

^^^ PB ' QD "" MD * NB'

527. Réciproquement, si deux droites PQ et MN coupent les côtés opposés d'un quadrilatère gauche ABCD, de telle sorte que la formule (/) soit vérifiée, ces deux transversales sont dans un même plan. En effet, si cela n'était pas, on pourrait mener par le point P une droite PQ', qui couperait MN, et alors on await

AP . BN . CQ'. DM=AM . DQ'. CN . BP,

équation incompatible avec la formule (^), que l'on suppose vérifiée, puisque si CQ' est plus grand que CQ, nécessairement DQ' sera moindre que DQ.

528. {Pig. 109.) Maintenant, revenons au double mode de génération que nous avons annoncé au n^ 524 pour l'hyperboloïde à une nappe, et prouvons que toute droite B"'DD'D*', qiti s* appuiera sur trois génératrices quelconques A» A', A' du premier mode, coupera nécessairement toutes les droites de ce système; par exemple, qu'elle rencontrera la génératrice A" en un certain point D". Il s'ensuivra évidemment que tous les points de cette ligne B"' se trouveront sur le premier hyperboloïde déjà construit avec les trois directrices fixes B, B', B*', et qu'ainsi une de ces dernières peut décrire encore cette même «urface, en glissant sur trois droites du système A.

Or, puisque, d'après le premier mode de génération, les trois droites A, A', A' coupent B, B', B% le quadrilatère LNN'^L'" donnera, en yertu de la formule (z),

t'^ L'L'* * N'N "" MN * M^'

mais, puisque la droite A"" rencontre les trois droites B, B', B"", et que B' coupe aussi les droites A, A', A''^ le même quadrilatère fournira encore, d'après la Amt*

CHAPITBE II. — HYPBRBOLOIDE A UNE NAPPE. aSy

mule (z) les deux relations suivantes :

/ N l.ir N^'N'V LM N'"M''

vif' N"N "MN'm-'L*''