LD N^D*' LL' N^'N

DN D-'L'^ ~ Vif W'JH '

alors, les seconds membres des équations (2) et (3) étant égaux en vertu de t'équation (i), nous en conclurons cette nouvelle égalité

DN * ly'lf ~ vif ' N'^N '

laquelle prouve (n** 527) que les deux droites A'' et B'" se coupent effectivement en un point D".

529. Remarquons ici que le second membre commun des équations (i) et (2) est une quantité constante k qui demeure invariable, dès que la position des cinq droites B, B', B", A, M" est fixée; d'où il suit que, pour une nouvelle droite quelconque A', qui s'appuiera sur les trois premières, on aura toujours IS") LU,NN'

L'L'" ~ N'JS-'

Or, si les trois droites B, B', B*" se trouvaient parallèles à un même plan, on sait qu'elles diviseraient A et A* en parties proportionnelles, de sorte qu'on aurait k = i; par conséquent, l'équation (5), qui devient alors

prouve que, dans ce cas, les trois droites A, A', A"* seraient nécessairement aussi parallèles à un plan unique, mais différent du premier. Nous retrouverons plus loin cette conséquence, dans le paraboloïde hyperbolique (n° 553).

550, Du plan tangent {Fig. 109,) Puisque, par chaque point de l'hyperboloïde, il passe deux droites (n^ 528), l'une du système A, l'autre du systèpie B, et que ces lignes sont elles-mêmes leurs propres tangentes, elles devront se trouver toutes deux dans le plan tangent relatif au point où elles se coupent; et, par conséquent, elles suffiront pour déterminer ce plan et pour trouver ses traces. Ainsi, lorsqu'on définira un hyperboloïde par les trois directrices B, B', B", et qu'on assignera le point de contact D sur une génératrice donnée A, il faudra construire (n^ 521 ) au moins deux autres positions A, A'^ de cette génératrice; puis en adoptant ces lignes A, A', A" pour directrices, 6n construira une droite DD'D" qui s*appuie sur ces dernières, et qui parte du point D. Alors cette droite DD'D'' sera située sur l'hyperboloïde, et en conduisant un plan par les deux lignes KTf et DD'D", ce sera le plan tangent relatif au point D. Cette solution est trop simple pour que nous croyions nécessaire de la construire dans une épure spéciale.

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531. Lorsque les données d'un hyperboloidt seront assignées sur deux plans de projection, et qu'on citera seulement la projection horizontale D, par exemple, d'un point de cette surface pour lequel ou demandera le plan tangent, il ne sera plus possible de mener immédiatement la génératrice AD, avant d'avoir, trouvé la projection verticale du point D. Pour cela il faudra, en général, conduire par ce point un plan vertical quelconque; chercher la section qu'il produira dans la surface, en construisant les points de rencontre de ce plan sécant avec diverses génératrices qui s'appuieraient sur les droites données B, B', B", et enfin projeter, sur cette section, le point D assigné sur le plan horizontal. Alors, connaissant les deux projections du point de contact, on pourra aussi construire les projections de la gêné* ratrice A qui passe par ce point, et Ton rentrera dans le cas du numéro précédent.

552. Du GEffTRB de Ihjrperboloide. {Fig. if4.) Cette surface est douée d'un centre, c^est«à-dire qu'il existe un point tei, que \outes les cordes de la surface qui passent par ce point, sjr trouvent divisées chacune en deux parties égales. Pour démontrer cette proposition, représentons par B, B', B", trois directrices primitives qui satisfassent aux conditions énoncées dans la définition du n^ 521 : nous pourrons alors, par les droites B' et B", conduire deux plans distincts B'DG et B'' CD, parallèles l'un et l'autre à la directrice B, et ces deux plans se couperont suivant une droite ACD évidemment parallèle à B; de sorte que cette ligne ACD sera une génératrice de rhyperboloïde proposé, puisqu'elle s'appuiera sur B' et sur B", et qu'elle ira rencontrer B à une distance infinie. De même, en conduisant par B^ et par B deux plans B^'GH et BHG parallèles à B', ils se couperont suivant une droite A'GH, qui sera encore une génératrice de l'hyperboloïde ; et l'on en trouvera une troisième A'^KE au moyen de deux plans BHF et B'DI, parallèles à B% et menés par B et B". De là nous conclurons d'abord que chaque génératrice d'un sjstime a sa parallite dans le sj-stème opposé; car ce que nous avons dit ici de B s'appliquera également à toute autre génératrice B'', B'^'V.., laquelle peut être prito pour directrice au lien de B (n"^ 528). Ensuite les six plans que nous avons construits ci-dessus forment évidemment un parallélipipède qui a, pour arêtes opposées, les six droites B, B', B', et A, AS A"; et je dis que le centre O de ce parallélipipède est aussi le centre de rhyperboloïde.

Pour le démontrer, je mène par xm point M, pris arbitrairement sur la directrice B une droite M^MM"" qui coupe les deux autres directrices en M' et M"^, et qni sera ainsi une génératrice du système A ; puis, je la compare avec une génératrice du système B, qui, s'appuyant sur A, A', A'', serait parallèle à MM'M''. Pour obtenir cette nouvelle génératrice, je prends les distances