DN = HM, GN'=E]VP, EN^ = GM

et les trois points N, N', N^, ainsi déterminés, se trouveront en ligna droits. En

CHAFITAE IK — fiTraRBOLOIDB Â UNE IRàPPE. ^$Q

effet, en tirant les lignes OM et ON, les triangles OMH et OND, qui sont visiblement égaux, prouveront que les côtés OM et ON sont égaux et en ligne droite; la même conséquence aura lieu pour les lignes OM', et ON', OM" et ON", en vertu de triangles égaux que l'on aperçoit aisément. Ensuite, les triangles MOM' et NON', égRixt, par ce qui précède, entraîneront le parallélisme des côlés MM' et NN'; et enfin, MM'' sera parallèle à NN" en vertu des triangles égaux MOM' et NON". Par conséquent, les deux portions N'N et NN" ne formeront qu'une seule ligne droite, qui sera une génératrice du système B, parallèle à la génératrice M'MM" choisie à volonté dans le système A; d'ailleurs, on voit par là que deux génératrices parallèles se trouvent toujours dans un plan passant par le point G, et sont également éloignées de ce point.

Gela posé, si, par un point arbitraire P de la droite M'MM", on tire une corde POQ qui passe par le point O, elle ira nécessairement percer Thyberboloïde en un point Q situé sur N'NN", et, d'après les relations ci -dessus établies, on aura évidemment OP = OQ ; donc, puisque cette conséquence est vraie pour tout point P pris sur l'hyperboloïde, il demeure prouvé que le point O est bien le centre de celte surface (*).

553. Observons que, quand il s'agira seulement de construire ce centre, on Tobtiendra sans tracer le parallélipipède dont nous venons de parler, en cherchant l'intersection des trois plans menés par la droite donnée B et sa parallèle A, par B'' et sa parallèle A', par B*' et sa parallèle A"; car chacun de ces plans diagonaux passe évidemment par le centre du parallélipipède, qui est celui de ThyperboToïde. D'ailleurs, on peut dire que ce sont là trois plans a^mptotiqués de la surface, comme nous Texpliquerons au n^ 546.

554. En résumant les propositions précédentes, on voit que dans^ l'hyperbo-

(*) CVstM. /. Binet qui a fait connaître (/o^r/z^/ de t École Polytechnique, 1 6" cahier), parmi d^autres parallélipipèdes concentriques avec rhyperboloîde , ceux qui sont ainsi formés par trois génératrices quelconques d'un système, jointes à leurs parallèles dans le système opnosé. Ce savant géonètra en a déduit beaucoup de conséquences intéressantes; mais ici nous ferons seulement observer : i» que chacun de ces parallélipipèdes est €ircon$cnt à Thyperboloîde , puisque chaque face roH ferme deux génératrices, et devient tangente dans le point où se coupent ces droites; 2^ qu'ils offrent une construction graphique fort élégante , pour trouver le centre de la surface gauche définie par trois directrices rectilîgnes; 3* qu'ils ne sont pas moins utiles sous le rapport analytique, puisqu'en adoptant ce centre pour origine des axes coordonnés , choisis parallèles aux trois directrices assignées, l'éqoatîon de la furface se présentera sous la forme très-simple

XY jrz xz «6 €7 07

£n effet, les axes actuels étant évidemment trois arêtes du cône asymptotique , il doit arriver que chaque plan coordonné coupe la surface suivant un hyperbole qui ait pour asymptote les deux axes coateutts dans ce plan.

a4o LITRE TII. ---DES SURFACES GAUCBES.

toïde à une nappe, i^ il existe deux systèmes de génératrices rectilignes

A, A', A", A**,..., et B, B', B*^, B",...,

dont chacune coupe toutes les droites du système opposé (n^ S28); cependant, chaque génératrice A' a sa parallèle dans le système B (n^ 532 j^ et réciproquement; de sorte que pour ces droites comparées deux à deux , la rencontre n a plus lieu qu'à une distance infinie.

0?. Deux génératrices du système A ne se trouvent jamais dans un plan unique (n^ 522); il en est de même des génératrices du système B, puisque ces dernières s'appuient aussi (n^ 528) sur trois droites du système A, lesquelles sont dans des plans différents.

3^. Trois droites quelconques du système A ne sont jamais parallèles à un même plan ; car^ si cela avait lieu, il s'ensuivrait par le n^ 529 que les directrices B^ B', B'', sur lesquelles s*appuient toutes les génératrices du premier mode, seraient aussi parallèles toutes trois à un même plan, ce qui est contraire à la définition du n^ 521. Réciproquement, trois quelconques des génératrices du système B ne se trouvent jamais parallèles à un même plan; car cela entraînerait aussi (n^ 529) une restriction semblable pour les droites du système A, sur lesquelles s'appuient ces génératrices du second mode.

4^. Le centre de l'hyperboloîde est placé au centre du parallélipipède construit avec trois droites quelconques du système A, jointes aux trois génératrices du système B^ qui se trouvent respectivement parallèles aux trois premières (n^ 552); ou plus simplement, il est donné par l'intersection de trois plans asymptotiques (n^553).

5®. Une droite quelconque D ne saurait percer l'hyperboloîde en plus de deux points ; car, si elle avait trois points communs avec cette surface, la droite D s'appuierait sur trois génératrices de l'un ou de l'autre système, de sorte qu'elle coïnciderait tout entière avec la surface. D'ailleurs, pour obtenir ces points d'intersection, il faudra construire, comme au n^ 531, la section faite dans rhyperboloïde par un plan vertical ou horizontal , conduit suivant la droite D.

555. La surface gauche engendrée par une droite qui glisse sur trois autres droites fixes non parallèles à un même plan, est identique avec l*hyperboloïde à une iwppt que nous avons décrit au n^ 83. En effet, celte surface gauche est d'abord du second degré, puisque, sans effectuer les calculs, il est aisé de voir que les conditions par lesquelles on exprimerait que la droite mobile a un point de commun avec chaque directrice, ne pourraient conduire qu'à une équation du second degré. Ensuite, cette surface gauche est douée d'un centre (n° 552); donc, comme elle ne saurait être évidemment ni un cône, ni un cylindre, qui sont développables, il faut qu'elle soit un ellipsoïde ou Tun des deux hyperboloïdes. Or l'ellipsoïde est

CHAPITBB II. — HYPERBOLOIDE A UNE NAPPE, 241

une surface limitée en tous sens (n^ 81) qui ne saurait admettre pour génératrice une droite indéfinie ; d'un autre côté; l'hyperboloîde du n^ 85 présente deux nappes séparées par un intervalle imaginaire, de sorte qu'une droite indéfinie et continue ne saurait évidemment s'appliquer tout entière sur cette surface; par conséquent, on est ramené à la proposition énoncée au commencement de cet article.

536. (Fi^. 119.) Pour manifester plus clairement l'identité dont il s'agit, et qui peut paraître assez étrange au premier coup d'oeil , nous allons démontrer syn* tjiétiquement que l'hyperboloîde décrit au n^ 83 admet en effet deux s/stèmes de génératrices reciilignes. D'après la définition de cette surface^ toutes les sections perpendiculaires à son axe imaginaire sont des ellipses semblables : si donc nous la coupons par trois plans horizontaux e^a\ V'X', V"X'', dont le premier passe par. le «rentre et dont les deux autres soient à égales distances, au«dessous et au-dessus de ce point, nous obtiendrons CelUpse de gorge [abefy a'e') et deux autres ellipses égales, projetées horizontalement sur VUXY qui a ses axes parallèles et proportionnels à ceux de céef. Cela posé, en menant à cette dernière une tangente quelconque ÂDB, on sait que les parties kD et DB seront égales (^); si donc, nous joignons le point (D, Jy) avec (A, A') et (B, ê'), nous obtiendrons deux droites(AD, A'D') et (DB,D'ê') qui seront nécessairement le prolongement l'une de l'autre, puisque ce sont les hypoténuses de deux triangles rectangles évidemment égaux, projetés sur DTÂ' et DTg'. D'où il résulte que la droite totale (ADB, A'D'ê') a trois points de communs avec l'hyperboloîde, et, conséquemment, eUe est toiU entière sur cette surface, attendu que celle-ci est du second degré.

Maintenant, projetons le point A sur l'ellipse supérieure en a', et le point B sur l'ellipse inférieure en B', puis, joignons ces deux points dans l'espace avec (D, D'); nous obtiendrons encore deux droites (BD, B'D'), (DA, D'à'), dont ou prouvera de même la coïncidence; de sorte que la droite totale (BDA, B'D'a') aura trois pK>ints de communs avec l'hyperboloîde, et, par suite, elle sera située tout entière sur cette surface du second degré.

537.. {Fig. 119.) De là nous pouvons conclure que tout plan vertical ADB, tangent à l'ellipse de gorge, coupe l'hyperbc^oîde suivant deux droites distinctes, qui se croisent en (D, D') sur cette gorge, et sont inclinées symetriquement.de part et d'autre de la verticale D. Par conséquent, cette surface peut être regardée comme produite par le mouvement de la génératrice (AD, A'D'), ou de la génératrice (BD, B'D'), assujettie à glisser constamment sur les trois ellipses semblables

(XYVU,X'VO, {abef,a\e% (XYVU, X^V"); car on sait (n^ 515) que ces conditions règlent complètement le mouvement d une

(^) Cette proposition se démontre aisément, par la définition purement géométrique des diamètrea conjugués et des courbes semblables,.

a4a LIVBE VIL — DES SURFACES GAUOHBSl

ligne droite. Les diverses positions de ces deux g^ératrioes préstitteroni donc deux ^sternes de droites indéfinies, situées toutes sur l'hyperboloïdéi savoir ;