CHAPITRE II. -* HYPERBOLOIDE A UNE NAPPE

^40. Or, le mouvement d'une droite étant complètement déterminé (n*'521 ) par la condition que cette ligne mobile s'appuie constamment sur trois droites ûxe^j il en résulte que si Ton fait glisser la génératrice ( AD^ Â'D') sur trois droites quelconques du système B, elle ne pourra prendre que les positions A^, A3, A4,..., qui toutes remiontrent ces trois directrices (n^SSO); de même, la génératrice (BD, B'D')f ^W glissant sur trois droites du système A, viendra coïncider nécessairevent avep B», B^y B^,.... Par conséquent, Thyperboloïde actuel nous offre I^ia toutes U$ propriétés que nous avons déjà reconnues dans la surface gauche 4i| i)"" ^%% I et| si l^s trois ellipses directrices étaient des cercles, on retomberait sur l'hyp^rboloûk d^ révolution dont nou^ avons parlé dans les n'^ 140, 141,....

^41* D^plqn tan^nl. {Fig. 119.) Lorsque l'hyperboloïde à une nappe est défini parles trpifi ellipse semblables citées n^537 (courbes que Ton peut aisément construire, dès qw l0s trois axes OasaO'^', OA, OVde la surface sont assignés), il est hym ^icile di9 trouver le plan tangent relatif à un point donné par sa projection borjzontale M- £o effet, si nous tirons par le point M une tangente AMB à Tellipse d^ g orgf», ce sera la projection de deux génératrices, représentées sur le plan vertical par A'IK et B'D', et sur lesquelles il faudra projeter le point donné ep M" PU en M'î de sorte qu'il y aura deux positions pour le point proposé. Considérons d'abord le point (M, W) Bitué sur la droite (ADM, A'D'M'') : il y passe une seconde génératrice appartenant au système B, savoir (B4GM, B'^G'M''), laquelle s'pbtient en tirant parle point M la nouvelle tangente MGB4 à Tellipse de gorgei Alors, l'ememble de ces deux génératrices déterminera complètement (u^530) le plan qui touchera l'b3rperboloïde au point (M, M"), et les pieds de ces droites fourniront iinmédiatement la trace horizontale AB4P de ce plan tangent. Qv^Ql k m trace verticale PQ', on Tobtiendra par le secours de l'horizontale (MQ, WQ") menée parallèlement à AB^.

Pour l'autre point (M, M') on combinera ensemble les deux génératrices {WH, B'M'iy) et (A4MG, A'^M'G') qui s'y coupent; et la trace horizontale du plan tangent relfttilà ce nouveau point sera la droite A4B, qui se trouvera évidemment parallèle à AB». La trace verticale s'obtiendrait par le même moyen que précédemment.

548, Pour obtenir une symétrie convenable dans la représentation de Thyperboloïdeau moyen de ses génératrices rectilignes, il est essentiel de choisir les cordes AB, AftBj, AsBx,...^ sur le plan horizontal, de manière qu'elles reviennent tôt ou tard aboutir deux à deux aux mêmes points de Telllpse XYVU. Or, si cette courbe était un cercle, cmi sait (n^l50) que l'on remplirait cette condition en partageant la circonférence en un certain nombre de parties égales, et en tirant des cordes qui saua*tendissent un nombre constant de ces arcs partiels; d'ailleurs, ces cordes se trouveraient bien tangentes au cercle de gorge, qu'elles traceraient parleurs

a44 UVÎilË, VII. — DES SURFACES GAUCHES.

seules intersections successives. Si donc^ en supposant cette construction effectuée pour le cercle décrit sur VX comme diamètre, on imagine qu'il tourne autour de VX, d'une certaine quantité angulaire propre à lui donner pour projection Tdllipse XYVU, il arrivera bien que les cordes primitives se projetteront sur d'autres cordes, qui viendront nécessairement aboutir, deux à deux, aux mêmes points de cette ellipse; et en outre, ces nouvelles cordes seront évidemmait tangentes à l'ellipse intérieure suivant laquelle se projettera le cercle de gorge primitif. D'où je conclus qu'il faut choisir les points A, Aj, A,,.-., de telle sorte qu'ils r^ondent aux ordonnées qui diviseront le cercle VX en arcs égaux ; et tracer ensuite dans l'ellipse XYVU, des cordes AB, A^Bj,..., qui sous-tendent un nombre coiistantàe ces arcs d'ellipse, quoique ceux-ci ne soient plus de même longueur. Une fois que les génératrices seront ainsi déterminées sur le plan horizontal, on en conclura aisément les projections verticales, en projetant les extrémités A et B en A^ et ^, et aussi en a' et B', sur les deux parallèles VX' et V"X". D'ailleurs, les intersections consécutives de toutes ces génératrices, si elles sont assez multipliées, suffiront pour dessiner par elles-mêmes le contour de l'ellipse de gorge sur le plan horizontal, et les deux branches de l'hyperbole parallèle au plan vertical.

$43. Du COITE ASTifPTOTE de ihyperboldide. {Fig. 1 19. ) Si par le centre (O, O) de cette dernière surface, on menait des droites respectivement parallèles aux diverses génératrices du système A, elles le seraient en même temps aux génératrices du système B, puisque chaque droite d'un système a sa parallèle dans l'autre (n^ ^32); et l'on formerait ainsi une surface conique qui serait aspnptote de rhyperboloïde proposé. Pour le prouver, cherchons d'abord quelle sera la trace horizontale de ce cône. En considérant Taréte quelconque Om et les deux génératrices DA et HK qui lui sont parallèles, ces trois droites seront dans un même plan passant par le diamètre horizontal (DOH, D'O') ; donc la trace de ce plan sera une corde RA parallèle à DOH, et le milieu m de cette corde sera évidemment le pied de l'arête Om. En raisonnant de même pour une autre arête et pour les deux génératrices de l'hyperboloide, qui lui sont parallèles, on verra que la trace horizontale vmyx du cône en question sera fournie par les milieux de toutes les cordes qui sous*tendront, comme RA, un nombre constant de divisions dans l'ellipse VYX. Or, d'après ce que nous avons dit au numéro précédent, on sait que toutes ces cordes ont pour enveloppe une ellipse qu'elles touchent en leurs milieux, et qui est semblable à VYX; donc la trace vmjx est effectivement une ellipse qui jouit de cette propriété, et dont le demi-grand axe Ov est égal à A K.

Maintenant le cône que nous venons de construire est asymptote de l'hyperboloide; car, en coupant ces deux surfaces par des plans horizontaux, les sections seraient des ellipses respectivement semblables à VYX et v/x, et qui, comme ces dernières, auraieni pour différence de leurs demi-axes une quantité variable Yi/