CHAPITRE II. — HYPERBOLOIDE A UNE NAPPE. a
égale à Fintervalle V'K' qui sépare Thyperbole WV de son asymptote (VK'. Or cet intervalle approche indéfiniment de zéro, à mesure que Ton s'abaisse davantage au-dessous du centre CK ; donc aussi les deux sections faites dans Thyperboloïde et dans le cône par un même plan horizontal qui s'éloigne de plus en plus du centre, seront des ellipses semblables qui approcheront indéfiniment de se con« fondre, quoique la première enveloppe toujours la seconde; donc ces deux surfaces sont bien asymptotes Tune de l'autre.
544. Dessecxioits planes cle l'hjrperboldide. [Fig. 109.) Pour obtenir Tintersec^on de cette surface par un plan donné tt, il suffit de chercher les points dans lesquels ce plan va couper les^ diverses génératrices A, A', A",..., que Fou sait construire (n^ 521) d'après la connaissance des trois directrices B, B', B''; puis, de réunir tous ces points par un trait continu. La tangente à cette courbe sera donnée par l'intersection du plan n avec le plaa tangent de Thyperboloîde pour le point en question, plan que nous avons enseigné à construire (n^ 530).
545. Dans le cas particulier où le plan donné n passerait par une génératrice A du premier système, la seconde branche d'intersection serait nécessairement rectiligne, puisque la surface est du second degré; et cette droite, qui appartiendrait au système B, s'obtiendrait en cherchant seulement les deux points où le plan TU coupe deux génératrices A' et A*' du premier système. D'ailleurs, ce plan n serait tangent à la surface dans le point de rencontre des deux génératrices qu'il renfermerait.
546. Lorsque ces deux génératrices se trouveront parallèles entre elles, le plan TT devra être considéré comme asjrniptote de l'hyperboloïde, ou tangent dans le point infiniment éloigné où concourraient ces deux droites; alors le plan n passerait nécessairement par le centre (n^ 535) de la surface, et serait tangent au cône asymptote, comme onl'a vu (u^ 543) pour les génératrices DA et HR de layî^. 1 19. Ainsi, tout plan tangent au cône asjrmptote coupe l'hyperboloïde suivant deux droites parallèles à [arête de contact de. ce plan avec le c6ne.
547. Pour reconnaître d'avance la nature de la section produite par un plan donné TT, il ÙLudra examiner s'il existe quelque génératrice parallèle au plan sécant; parce qu'alors la section admettrait une ou deux branches infinies. A cet effet, on construira la trace du cône asymptote sur le plan horizontal, en menant par le centre O de l'hyperboloïde, déterminé comme au n^ 533 (ou même par un point quelconque de l'espace), des parallèles à un nombre su£Bsant de génératrices A, A', A",. . .; puis, on conduira par le sommet de ce cône un plan ;:' parallèle à tt, et alors il poiu*ra se présenter trois cas distincts.
i^. Si la trace horizontale du plan 7f ne rencontre pas la base du cône asymptote^ il n'existera sur ce cône aucune arête parallèle à ?r; et il en sera de même des génératrices de l'hyperboloide, qiii acmt {p? 545) réftpectitement p^alljèles à
ces arête*. Donc, dap$ ce c«s^ la courbe de sçotioa »-aura aqcup pmpt «tué à Ti»'' fini, et elle §çra unç ellip$ç.
a°. Si la trace horizontale du plan 7^ coiipe eu deux points la ba«e du côiw asymptote, il y aura sur ce cône deux arêteç çt et a' parallèks w phn tfi et aiMii dans rhyperboloïde deui^ génératrices de cUaqu« mode (a et 6, a' et 6') qui r»i» pliront celte condition f par conséquent, la section faite par le plau n admtttra deux branches infinies, et sera une hypevbokf Pour en trouver le* aaymptPtfi§, QP mènera, le plan P, qui touche le cône asyu^ptote (*) le long de l'arête a.\ et comine ce plan renfernierait (n*" 546) les deux génératrices a et /i qui, $ur l'hyperbol^wd^ seraient parallèles à ^, il est tangent à cette suf&ce pour le point infinimfQt â|oî« gné où a et 6 iraient rencontrer le plan sécant t^ • donc l'intersection des plaM P et n donnera l'asymptote de cette branche, L'autre asymptote sera fournie pur l'intersection du plan TT avec le plan P' qui touchera le cône asymptote wivant l'arête a'\ car c'est dans ce plau V que seraient contenues les deux génémtriaes a' et 6', qui sont parallèles à cf'.
3"^. Si le plan n\ mené par le somnset du cône asymptote, toucha ce cône suî* vaut une arête unique a, il n'y aura sur J'hyperboloîde qu'une seule génératrice (a et 6) de chaque système, qui soit parallèle à a; donc alors 1^ section iaite par le plan n n'aura qu'une branche infinie, et sera um parabole. D'ailleurSf elle n'ad-r mettra pas d'asymptote ; car c'est le plan n' lui-wéine qui, touchant le cône asjrai» tote, renfermerait (n^ 546) les deux génératrices a et 6 parallèles à (t. Donc os plan est tangent à l'byperboloîde pour le point infiniment éloigné de la coyHie; maïs, comme il se trouve ici parallèle au plan sécant tt, leur intersection, qui ser«l l'asymptote, se transporte tout entière à l'infini et a existe plus-
548. Par les constructions précédentes, on saurA résoudre le problème wi« vaut, quand i| sera possible : Trouver $ur un hjperboloide (hnné uw ^énémtric^ çvi 4olt parallèk à un plan connu Tc. Car, en menant par le soinn^et du cône asymptou le plan n'j parallèle à tc, si le plan n' coupe ce cône suivant une ou deu^ arêtes a et a', les plans tangents au même cône le long de ces arêtes donneront^ par leurs intersections avec l'hyperboloide, les génératrices « et 6, parallèle» i 41» et les génératrices a' et b\ parallèles à ç(f, lesquelles satisferont toutes quatre à la question proposée.
