CHAPITRE III

DU PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE.

549. {Fiy. II 5.) Nous appellerons ainsi la surface engendrée par une droite

{*) U faut, ici, que qs odp^ »t été eomUtfit 4s mamèi» q/aa soa tsmiaet loît pMcteémem mi csbt tre 0 <)id Vkjp&Mçi^^ qMs Vw sai» «mviv psr le P"* If 99-

GHAPifftB fil. ^ t>tf yAttAltÔLoroB tiTPËllÈOLiQUE. ^'j

mobile A^ njul gllsêe suf* deux dmitei fixes Ë et ft' non situées dam un même pbn, et qui demeure en outre constamment parallèle à un plan donné P, que l'on nomme le pian directeur; car il sera démontfé |)îus lolfi (n** 858) que cette surface est identique avec celle que nous avons déjà désignée sous ce nom au n^ 80 # Pour con^ stmire les diverses positions de la génératrice, il suffira de mener par chaque point M, pris à volonté sur la génératficc B, un plan parallèle à P; puis, de chercher le point N où ce plan ira couper l'autre directrice B', et de joindre ces deux pointa pitr titië di^oitè AMt^. On voit ainsi que les conditions précédentes règlent cùmpléteihent le tiiotiVétriétlt dé là droite mobile, puisque, pour chaque point M, elle ne petit pl-etidre qu*iine posîtiôfi Unique.

530. Le parabolôïde hypeAolic|ue est une surface gauche; car deux génératrices qiJelcdnquéâ A et A', méttie quand elles né sont pas infiniment voisines, ne pourraient se trouver contenues dans un plah linique, qu'autant que les directrices B et B', qui ont chacune deux points communs avec les premières, seraient ellesméilieâ situées datis ce plan : or, cela est dontraîre à là défitiîtion donnée au numéro pi'écédent; doué là surface est gaUche.

991. [Pig* Il 5.) Là surface qui nous occupe admet, comme l'hyperboloïdè gauche, uti âeeond fnode de génération inversé du premier, et dans lequel deut des génératrices A, A^ A'^,...> deviendront les directrices. î^ôur le prouver, détndtiti*dîis que tout plan DUV, parallèle aux deux directrices B et B', coupe le parabo^ làtdê suivant une droite; ee <JUi se réduit â faire voir que les trois points D, ÏX, D'^, où ce plàli fencdntfe ti'oîfe génératrices quelconques A, A', A'', se trouvent en ligne dt*6ite.

Projetons la figure entière sur Un plan QOX, parallèle aussi aux deux directrices B et F, et employons pouf lignes projetantes des droites obliques (*), maïs pâfàllèleé toutes à Une ligne PO tnenée arbitrairement dans le plan directeur POX. AltM*s B et B' deviendront deu3^ lignes quelconques b et 6^; mais les droites MON, M'tyïï', M''D''N^ âyaut leurs plans projetants parallèles à P, se projetteront suî- Tàtit deâ dfôiteô mrfn, m'd'n\ m^d^'n"^ nécessairement parallèles à Tintersection OX des deux plâhâ P et Q. Cela posé, on aura évidemment

MD md WW n^ M!£!^^!^,

maiSj d'un autre côté, le plan DUV étant parallèle aux deux ligues B et B', on peut regarder les droites A, A', A'', comme coupées par trois plans parallèlesi et,

(*) Nous ayions, dès raaaée i8i8, démontré celte proposition en coiiBervant les projcctÎMis oi^ thogonales, et employant un plan QOX perpendiculaire au plan directeur P; ee qui laisse subsister tous les Raisonnements et les calculs du texte. Mais la marche actuelle offre Pavantage de meiite sous les yeux du lecteur le second plan directeur Q qu'admet le paraboloïde hyperbolique.

^8 LIVRE VIL — DES StFRFAGES GAUCHES.

d'apï-ès titt théorème connu de la géométrie ordioairei on aura les rapports égaux

MD M^iy M^^D^ qui, en vertu des égalités précédentes, donneront encore

dn ~ d'n! ~ d''n" '

Or, puisque ces rapports égaux subsistent entre des droites mn^ m'n% m'^nT^ qui sont parallèles entre elles, il en résulte nécessairement que les trois points d^ d\ d" sont sur une même droite qui convergerait avec b et 1/ vers un point unique; d'où il suit que les points de l'espace D, D', D'' se trouvent dans le plan projetant passant par la droite rfc/M"; et comme ils sont d'ailleurs dans le plan DUV, cpii est distinct de ce plan projetant, il en résulte que ces trois points D, D', jy\ sont effeetivement en ligne droite.

552. {Fig. 1 15.) D'après cda, si Von fait glisser sur deux génératrices kekA! du premier mode une droite mobile W assujettie en outre à demeurer parallèle au plan Q, elle engendrera le même parabokHde que ci-dessus ; car, lorsque B'' passera par le point D par exemple, elle ne pourra manquer de coïncider avec la droite DD'D"" qui est située (551) siu* ce pai^oloîde, et qui rem{^it déjà les conditions impo- ' sées à B'". Ainsi, voilà un second mode de génération où le nouveau p/on directeur Q est parallèle aux deux directrices B et B' de l'ancien mode, et où les directrices nouvelles sont deux génératrices quelconques du premier système A.

^ 553. Maintenant, essayons de fnire mouvoir une droite B" de manière qu'elle s'appuie constamment sur trois droites quelconques A, A', M\ du premier système, sans lui imposer la restriction d'être parallèle à un plan directeur. Ces conditions suffiront pour régler complètement (n^ 521) le mouvement de cette génératrice; et quand elle passera par le point D, par exemple, elle devra encore coïncider avec DD'D", qui remplit déjà les conditions énoncées : donc B'^ va ainsi décrire le même paraboloide que précédemment. Par conséquent, voilà un troisième mode de génération, dans lequel cette surface est produite par le mouvement dune droite ïf qui glisse constamment sur trois droites fixes A, A% A'^, lesquelles sont parallèles à un même plan; car ici ces trois directrices, au lieu d'être tout à fait quelconques, se trouvent, par la définition du n^ 549, parallèles toutes au plan P : de sorte que, sous ce point de vue, le paraboloïde hyperbolique est un cas particulier de Tbyperboloide à tme nappe ( n^ 521). D'ailleurs, quoiqu'on n'ait pas imjposé à la droite mobile B'' ta restriction de demeurer parallèle à un plan fixe, elle ne laissera pas de remplir cette condition, puisque les positions qu'elle prendra, comme Diyi/, sont déjà toutes parallèles au plan Q; ce qui s'accorde avec la remarque du ii^'529.