CHAPITRE m. — DU PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE

Il est aussi érident que ce mode de génération admets pour réciproque^ un « quatrième mode dans lequel on ferait mouvoir la droite A sur trois quelconques des génératrices du système B; car cette droite A ne pourrait prendre (n*^ 521) que les positions A', A'',..., qui remplissent déjà cette condition^ et elle demeurerait ainsi parallèle au plan P, quoiqu'on ne lui eût pas imposé cette restriction.

554. [Fig, 1 1 5.) Il résulte évidemment de là : i® que par chaque point D pris à volonté sur le paraboloide, il passe deux droites situées tout entières sur la surface, et appartenant Tune au système A, l'autre au système B; 2** que deux génératrices appartenant au même mode ne sont jamais dans un plan unique, puisque ce qui a été prouvé (n^ 550) pour les droites A, A', A"*,..., s'applique évidemment aussi aux droites B^ B', B^,.-- ; 3^ que chaque génératrice d'un système coupe toutes les droites de l'autre mode, sans qu'il y en ait deux de parallèles : car, slcelte cîrcon^ stance avait lieu pour A" et B*", par exemple, il s'ensuivrait que ces droites seraient aussi parallèles à l'intersection OX des deux plans directeurs, ce qui est impossible, à moins qu'on ne les regarde comme placées à une distance infinie ; 4^ une droite qudconque ne peut traverser le paraboloide qu'en deux points : car, si elle avait trois points communs avec cette surface, elle s'appuierait sur trois génératrices, et, par conséquent (n^ 553), elle coïnciderait tout entière avec le paraboloide. D'ailleurs, pour obtenir les points d'intersection, il faudra construire la section faite dans la sur£sice par un plan vertical ou horizontal, conduit suivant la droite donnée.

555. Enfin^ puisque dans le premier mode de génération les diverses posi* tions A, A', A^,... de la génératrice sont fournies par des plans parallèles à P^ qui coupent les directrices B et B' aux points M et N, M' et N',..., on sait, par la géométrie ordinaire, que ces plans diviseront les droites B et B' en parties proportionnellesy c'est-à*dire que l'on aura