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d'où il résulte qu'au lieu d'un plan directeur, on pourrait assigner deux positions primitives A et A' de la droite mobile, puis exiger que celle-ci glissât sur B et B' de manière à intercepter toujours des parties proportionnelles avec MMf et MK'. Cette marche sera d'un usage fort commode pour Texécution en relief du paraboloide hyperbolique; car, après avoir construit un quadrilatère gauche, tel que MNN'^'lVr, dont les cotés et les angles soient invariables, il suffira de diviser les côtés oppo< ses MM" et NN"' eu un même nombre de parties égales; puis, enjoignant les divisions correspondantes par des fils tendus en ligne droite, on obtiendra uiie représentation fidèle de cette surface. Pour y introduire en même temps les génératrices du système B, il n'y aura qu'à diviser aussi les deux autres cotés MN et M'^N"' en un même nombre de parties égales, et joindre les points de division correspondants 4 '^ édie. 3a

dSo LIVHB VII. ^ DEB 6CBFACSS 0AUCHB8.

par d'autres fils, qui derront alors s'appuyei* d'eux-mêmes sur les premiers, et ne iformer qu'uue seule et même surface, où les deux modes de génération se trouveront exprimés d'une manière bien sensible [vojez n^ 566 et la^jf. lao).

556. Du plan tangent. [Fig. 1 1 5.) Lorsque le point de contact G sera donné sur une génératrice connue ÂMGN, il suffira de construire seulement une seconde génératrice A' du même mode, en employant le procédé du n® 549, si le paraboloîde est défini par im plan directeur P ; et, s'il Tétait par trois directrices B, B', B% parallèles à un même plan, on emploierait la marche du n® 521. Quand une fois on connaîtra les deux génératrices A et A', on les coupera par un plan mené du point G parallèlement aux directrices B et B', et la droite GH, qui réunira les points de section, sera située (n^ 551 ) sur le paraboloîde} donc le système des deux droites AG

' et GH, qui sont elle&-mémes leurs propres tangentes, déterminera le plan tangent de la surface ponr le point donné G.

557. Si l'on assignait seulement la projection horizontale g du point de contact, sans donner la génératrice qui le contient, il faudrait chercher d'abord la seconde projection de ce point. Pour cela, on ferait i>asser par g un plan vertical queloonque dont on déterminerait les intersections avec diverses génératrices, et la suite de ces points fournirait la projection verticale de la section faite dans la surface; alors on projetterait le point g sur cette courbe, et, ayant ainsi les deux projections y et j' du point de contact, il serait bien facile de mener la génératrice qui, passant par ce point, s'appuierait sur B et B' : de sorte que l'on serait ramené au cas précédent

558. La surface gauche qui nous occupe est identique avec le parabolcUde hyperbolique que nous avons décrit au n^ 89. En effet cette surface gauche est du second degré; car, sans effectuer les calculs, il est facile de voir que les conditions par lesquelles on exprimerait que la droite mobile A a toujours un point de commun avec B et avec B', et demeure parallèle au point P choisi, si l'on veut, pour un des plans coordonnés, conduiraient à une équation qui ne dépasserait pas le second degré ; et cette conséquence s'accorde avec la dernière remarque du n** 554. Ensuite, cette surface gauche n'admet aucune section plane qui soit une courbe FBBicfB, comme nous allons le démontrer (n^ 564); d'ailleurs, elle ne peut être un cylindre à base hyperbolique ou parabolique, attendu qu'elle est gauche : il faut donc qu'elle coïncide avec le paraboloîde hyperbolique (n^ 89), puisque toutes les autres surfaces du second degré admettent^ par leur génération même, des sections elliptiques {voyez livre II, chapitre I*').

559. Sections planes du paraboloîde hyperbolique. {Fig. ii5*) On obtiaidra la courbe d'intersection de cette surface avec un plan donné n, en construisant les points où ce plan coupe les diverses génératricesA, A', A",...; et la tangente à cette courbe en un point donné, résultera de Tintersection du plan n avec le plan tangent au paraboloîde, pour le point en question, plan qui ae construira comme