CHAPITRE m. ^ DH PARABOLDIDG HTPERBOJLIQUE. a5l

ail n^ 556. Quant à la nature de la section, on peut la prévoir d'avance par les règles suivantes.

560. D'abord 9 si le plan sécant n passe déjà par une droite A du paraboloide, Taiitre branche d'intersection sera encore rectiligne, puisque cette sur&ce est du second degré : on l'obtiendra en cherchant seulement les points D' et D'% où n va rencontrer deux autres généra tricies A' et A'', du même mode que A; et la section totale se composera des deux droites A et DD'D'% de sorte que le plan n se trouvera tangent en D, et sécant partout ailleurs.

561 . Dans le cas, plus particulier encore, où la plan tt, qui passe par A, se trouverait parallèle au plan directeur P, qui correspond à cette génératrice, il ne couperait plus les autres génératrices du même mode ; de sorte que la seconde branche d'intersection qui était tout à l'heure DD'D'^ s'éloignerait tout entière à l'infini. Donc alors la section se réduirait à la droite unique A ; mais le plan tt devrait toujours être considéré comme tangent au paraboloide dans le point infiniment éloigné situé sur A, ou bien comme un plan a^mptote de la surface.

562. Généralement, soit fr un plan quelconque qui n'est pas parallèle à l'intersection OX des deux plans directeurs; il coupera c^ix-ci suivant des droites ^ et (^, non parallèles à OX, et alors il existera dans chaque système une génératrice parallèle à rr. En effet, conduisons par la directrice B un plan BCE parallèle à la trace &; ce plan coupera nécessairement la directrice B' en un certain point N*, et en menant par ce point la droite N'^M" A'' parallèle à &, elle ira rencontrer la directrice B, et sera évidemment une génératrice parallèle au plan n. Si Ton opère d'une manière semblable pour la trace d^, en menant par la génératrice A un plan parallèle à ^, il coupera une autre droite A' du même système en un point D^, par lequel on pourra conduire une autre génératrice B'', qui sera parallèle à c^ et au plan n. De là on doit conclure que la section faite par ce plan ne présentera deux branches ouvertes, qui convergeront vers les points infiniment éloignés où n irait rencontrer les deux génératrices A'^ et B" ; ainsi cette section sera une hyperbole dont nous allons construire les asymptotes.

Menons par la génératrice A*' un plan n' pafrallèle à P : ce plan n' sera tangent (n®56i) au paraboloide dans le point situé à l'infini sur A"; donc l'intersection de ce plan tangent avec le plan it de la courbe, fournira l'asymptote de la branche qui converge vers A", et cette asymptote sera évidemment parallèle à cette génératrice. L'autre asymptote sera donnée semblablement, par l'intersection du plan fr avec un plan n" mené, suivant Wy parallèlement au second plan directeur Q, et elle sera parallèle à B".

565. Enfin, supposons que le plan sécant n soit parallèle à l'intersection OX des deux plans directeurs, auquel cas ses deux traces c^ et c^ sur ces derniers se trouveront elles-mêmes parallèles à OX. Alors, si Ton veut esfftyer d'obtenir vu»

a5a s LIYBE vu. «^ IMSS SURFACES GAUCHES.

génératrice parallèle à tt, il faudra encore m^ier par B un plan BGE parallèle à â\ mais ici ce plan ne coupera plus aucune des génératrices B', B^..., puisqu'il deviendra évidemment parallèle à Q : donc la génératrice parallèle à rcy dans le système A, est transportée tout entière à une distance infinie. Il en sera de même de la génératrice qui« dans le système B, serait parallèle à tt; de sorte que la sectioii faite par le plan n sera encore ouverte, puisqfu'ii y aura des génératrices de plus en plus éloignées qui approcheront indéfiniment d'être parallèles à n : mais cette courbe naura plusd'asjrmpiote. En effet, cette dernière ligne serait donnée, comme on Ta vu au numéro précédent, par l'intersection du plan n avec un plan v! oun*, parallèle à P ou Q, et mené suivant la génératrice parallèle à ft : or cette génératrice est ici transportée tout entière à l'infini; donc aussi le plan if s'éloigne indéfiniment, et ne fournit plus d*asymptote. Par conséquent, la section relative au cas actuel est une parabole.

âGi* En résiunant cette discussion, on voit : î® que Umi plan ir, paraUàk à {intersection OX des deux plans directeurs (*), donne une section parjlboliqxjb; et s, en outre, n est parallèle à Vun de ces plans directeurs, cette parabole se réduit à une droite unique (n^561).

a?. Si le plan sécant n nest point patnllèle à t intersection OX des deux plans érec' teurs, la section est dne hyperbole; mais elle dégénère ew deux droites Qm sb coo- PEXfT, si le plan sécant contient déjà une génératrice de la surface (n® 560)»

3®. Dans aucun cas, la section faite par un plan quelconque n dans le parabohidene peut être vmz courbe fermée.

565. Observons aussi que les constructions indiquées au n^562 serviront à résoudre ce problème : Trouver sur un paraboloide donné une génératrice gw ^^ parallèle à un plan connu n. 11 y aura deux solutions quand ce plaa n oe âerapoiat parallèle a Tintersection des deux plans directeurs ; et le problème sera impossible, lorsque n se trouvera parallèle à celte intersection, à moins qu'il ne le soit en même temps à l'un des plans directeurs, auquel cas il existera une infinité de solutions, fournies par toutes les génératrices parallèles à ce plan directeur.

PROBLEME* Représenter un paraboloide engeivdré par une droite mobile A quiglisse sur deux droites fixes B et Ba, e^ demeurant parallèle à un plan directeur donné P; «^ construire le plan tangent de cette surface, pour un point connu.

566. A6n de donner à notre épure toute la symétrie qu'on devrait chercher à obtenir dans la construction d'un modèle en relief, nous ferons observer qu'un plan Q, parallèle aux droites données B et Bj, serait le plan directeur du second mode de génération (n^552) du paraboloide cherché; et comme ce plan Q est

(*) On verra au n° «74 que cette droite OX est V axe principal du paraboloide, ou du moii» la» est parallèle; car les deux plans directeurs ne sont pas déterminés quant à leur position absolue, mais seulement quant à leur direction.