DE, D'G'),..., (GH, G'H'),..., (GF, GF

et d'ailleurs toutes ces droites seront projetées horizontalement sur des parallèles à la trace op du plan directeur P.

a 54 WVRE vu. — DES SURFACES GAUCHES.

568. Quant aux projections verticales de ces mêmes génératrices, elles fortneront, par leurs intersections successives, une courbe D'O'F enveloppe de toutes ces droites, et qui sera une parabole. Car chaque génératrice G' H' fournissant évîdem* ment la proportion FG' ; G' G' : : OH' : H'iy, il en résulte que, dans la courbe enveloppe, deux tangentes menées du même point sont coupées par une troisième tangente en parties réciproquement proportionnelles ; ce qui est une propriété connue de la parabole du second degré. D'ailleurs, puisque la courbe IKCP forme le contour apparent de la surface, sur le plan vertical, il faudra ponctuer les parties des génératrices qui se trouveront au delà de ce contour apparent; ainsi la droite (GMH, G'M'H'), par exemple, sera visible sur le plan vertical dans la portion G'M', et invisible dans la portion M'H' : en outre, le point de contact M', qui sépare ces parties, se trouvera nécessairement projeté en M sur la diagonale DF. En effet, dans la parabole D'O'P, on aura, par le principe rappelé ci-dessus,

G'M' : M'H' : : CH' : H'D' : : i i ; 5;

mais, dans le losange CD£F, on a aussi évidemment

GM;MH::GF:DH::ri;5;

d'où Ton conclut G'M' ; M'H' : : GM ; MH, et, par conséquent, le point M' se projette en M. Cette circonstance, qui se reproduit pour toutes les génératrices, prouve que la parabole D'CKF n'est autre chose que la section faite par le plan vertical DOF, dans le paraboloïde en question.

569. Maintenant, si Ton projetait ce même paraboloïde sur un plan vertical yTJ\ parallèle à la diagonale CE, les directrices primitives deviendraient les droites (CD, Ciy), (EF, E"iy); et Ton prouverait, comme ci-dessus, que les projections des génératrices formeraient, par leurs intersections successives, une autre parabole C&'W^ qui représenterait la section faite dans la surface par le plan vertical COE. liCs lecteurs familiarisés avec l'application de l'analyse à la géométrie des trois dimensions reconnaîtront, dans les plans verticaux OY et OZ qui fournissent ces paraboles, les deux plans diamétraux principaux du paraboloïde hyperbolique,

' lesquels doivent se couper (n®91) suivant Y axe unique de cette surface; et, en effet, nous allons démontrer (n** 572) que cet axe est la droite (O, (VX').

570. {Fig* lao.) Le paraboloïde hyperbolique admet, comme nous Tavons vu au vP 5Si, un second système de génératrices rectilignes qui sont parallèles au plan directeur Q, déterminé par les deux directrices primitives B et Bj, ou (CD, Ciy) et (EF, C'F')} c'est ici le plan vertical oq. Par conséquent, ces nouvelles génératrices seront projetées horizontalement sur des parallèles à la trace oq ; et comme elles doivent en outre s'appuyer sur deux droites du premier système A, par exemple sur (DE, D'G) et (CF, CF'), dont les extrémités correspondent déjà (n^ 566) â des plans verticaux DG et EF parallèles à oç, on voit qu'il suffira de diviser en ufi même