CHAPITRE III. ^ DU PARABOLOIDE HYPERBOLIQUE. a
nombre de parties égales ces deux nouvelles directrices (DE, D'C); (CF, CT'), puis de joindre ensemble les points de division o et i6, i et iS^ 2 et 149 3 et i3;...; par là^ on obtiendra les diverses génératrices du système B, savoir :
(CD, C'iy),..., (jMA, G'M'HO,..., (FE, FC).
571 . Ces droites du système B se confondront en projection verticale avec celles du système A déjà construites; car, dans le losange CDEF, il est évident que les points G et gf, H et h se trouveront deux à deux sur des perpendiculaires à la ligne de terre. Ainsi, les projections verticales de ces génératrices B seront encore tan*gentes à la parabole principale D'O'F' j mais les parties visibles, CQmme(MA, M'H'), tomberaient sur les parties ponctuées des génératrices A, et réciproquement. C'est pourquoi, afin de laisser subsister pour l'œil la distinction des deux nappes anié'- Heure et postérieure au plan vertical DOF, nous n'avons pas voulu représenter les génératrices du système B comme réellement existantes, mais nous les avons mar* quées seulement en lignes mixtes sur le plan horizontal.
Une coïncidence analogue aura lieu sur le plan vertical VZ'', où les génératrices du système B se trouveront aussi tangentes à la parabole principale CO^'E''.
572. Pour trouver le sommet et Vaxe du paraboloîde hyperbolique, il faut em-* prunter à l'analyse, ou bien admettre comme des définitions qu'il est loisible de poser, les relations suivantes : L'axe du parabotoïde est une droite parallèle aux deux plans directeurs P et Q, et telle, quelle coupe la surface en un point par lequel passent deux génératrices qui sont l'une et l'autre perpendiciUaires àcet axe : ce point esld'aUkurs appelé soMMf;T (n® 91). D'après cela^ on voit que, pour des données quelconques, il faudra généralement mener un plan it perpendiculaire à P et Q, puis chercher, par le n^ 565, les deux génératrices qui sont parallèles à n. Alors le point de rencontre de ces deux droites sera le sommet demandé, et une perpendiculaiife à n menée par ce point, sera l'axe de la surface.
(Fig, 120.) Mais ici, nous avons adopté (n^ 566) les données les plus symétriques> il est clair que l'axe du paraboloïde est vertical, et que par le point (O, O') il passe deux génératrices horizontales (K'OT, KOI) et (K'OT, kOi); donc le point (O, O') est le sommet demandé, et, par suite, l'axe est la droite (O, CO'X'). Parmi les conditions admises au n^ 566, il y en a une seule qu'on ne sera pas toujouro maître de remplir, c'est celle qui suppose que les deux directrices données sont également inclinées sur le plan horizontal, choisi comme nous Tavons fait. Lorsque cette relation ne sera pas vérifiée, il en résultera seulement que les points D' et F' ne se trouveront plus à la même hauteur, et que le centre O du losange CDEF, formé comme il a été dit (n^ 566), ne sera plus la projection du sommet de la surface; mais alors on obtiendra ce sommet par la méthode générale, ou, plus simplement, en menant à la parabole D'O'F' une tangente horizontale. D'ailleurs, on
a56 LivBB vu. — des surfaces gauches.
pourra aussi se procurer deux directrices telles que nous les avons admises, en conduisant à cette parabole deux tangentes également inclinées sur la verticale; et en regardant ces droites comme deux génératrices du paraboloide^ on trouvera aisément leurs projections horizontales^ qui serviront alors à former le losange dont le centre répondra exactement au sommet de la surface.
573. Pour manifester clairement la forme inverse des deux nappes du paraboloîde, qui sont Tune au-dessus, l'autre au-dessous du sommet unique (O, O') où elles se réunissent sans discontinuité, coupons cette surface par divers plans perpendiculaires à Taxe (O, C'CyX'). Soit L'R' un de ces plans; il rencontre les projections verticales des génératrices que nous avons construites , en des points que l'on projettera sur le plan horizontal , et qui formeront une courbe composée de deux branches indéfinies, mais séparées, LM/, RNr. Cette couii>eest nécessair^neot une hyperbole {n^ 562) dont l'axe réel est ici (MN, M'N) : mais si le plan sécant était au«dessous du sommet, comme T'W, alors la section, qui serait encore (n^ 502) une hyperbole TUW, tuw^ aurait pour axe réel la droite (Un, V); et si ce plan sécant passait précisément par le sommet (O, Cy), la section se réduirait aux deux droites (KOI, K'T) et {kOiy K'r)> dont les projections horizontales sont les asymptotes communes aux deux sections précédentes.
574. Le plan tangent pour un point quelconque du paraboloîde, donné par sa projection horizontale X, s'obtiendra en menant les génératrices Xa et X6, respectivement parallèles à DE et DC; puis, ^ l'on projette sur le plan vertical les deux points où chacune de ces droites ira couper les côtés opposés du losange CD£F, on trouvafa ainsi les projections verticales de ces génératrices, et il restera à faire passer un plan par ces deux droites. Nous n'effectuerons pas ici ces constructions, dans la crainte de rendre l'épure un peu confuse; mais elles n'offriront aucune difiicolté pour le lecteur,
