CHAPITRE IV. — PLANS TANGENTS AUX SURFACES GAUCHES

aiars ces deux surfaces se raccordent complètement tout le long de cette génératrice; c'est-à-dîre que, pour chaque point de cette droite, le plan tangent est commun à F une et à l'autre surface.

Puisqu*en L les deux surfaces ont un plan tangent commun , et qu'il en est de même aux points M et N, trois plans quelconques menés par ces points couperont les surfaces S et S' suivant des courbes respectivement tangentes,

Aa, B6, Ce, et A' a', B'6', Ce',

dont les trois premières pourront être adoptées pour directrices de la droite nio^

bile G, quand elle décrit la surface S, tandis que les trois autres courbes seront les

directrices relatives à S'. Cela posé, je fais glisser la génératrice G sur les trois direc*

trices Aa, B6, Ce, et je l'amène dans une position infiniment voisine glmn : cette

droite mobile n'aura pas cessé d'être en même temps sur la seconde surface S', parce

que les courbes directrices de celles-ci, qui sont tangentes aux autres, ont de coin*

mun avec elles les éléments linéaires Ij/, Mm, Nn ; donc les droites G etjr, ainsi que

toutes les positions intermédiaires de la génératrice, sont communes aux surfaces S

et S% ce qui permettrait déjà de conclure que ces surfaces ayant de commun l'élé^

ment superficiel compris entre G et g, et indéfini en longueur, elles se touchent tout

le long de la droite G. Mais pour établir encore plus clairement cette conséquence,

coupons les surfaces S et S' par un quatrième plan arbitraire, mené par le point

quelconque H : alors les sections seront deux courbes Drf et D'rf', qui passeront

nécessairement par les deux points H et /i, où ce plan sécant rencontrei^a les

droite&G et gf ; donc les courbes D rfet D'rf', ayant deux points communs infiniment

voisiM, se toucheront suivant l'élément H /t, ou bien elles auront la même tangente

HAT. Par conséquent, les plans tangents de S et de S' au point H coïncideront bien

l'un avec l'autre, puisque chacun d'eux devra passer par les droites GH et HT.

576. Si les surfaces gauches S et S' sont des cjllndrdideSy c'est-à-dire de celles qui admettent un plan directeur, il suffira, pour qu'elles se raccordent tout le long d'une génératrice commune G, qu'elles aient seulement deux plans tangents communs en deux points de cette droite, et quen outre le plan directeur soit le même pour l'une et l'autre surface. Cette proposition se démontrera précisément comme la précédente, et l'on doit voir tout de suite pourquoi, dans le cas actuel, on n'exige que deux plans tangents communs; car, dès lors que les directrices A a et X'a\ Bb et B'6' {fig. 1 16) sont respectivement tangentes, et, qu'en outre, le plan directeur est le même, cela suffit évidemment pour que la droite 9, menée par le point /, ne puisse pas prendre deux positions différentes sur S et S', et soit ainsi commune à ces deux surfaces.

Les deux théorèmes précédents sur le contact des surfaces gauches, sont nonseulement utiles dans plusieui's questions de stéréotomie où l'on veut raccorder de 4« édit, 33

a58 LIVBE VII. — DES «TîftFACES GAUCHES,

pareilles surfaces, mais ils servent aussi de base à la méthode par laquelle on construit leurs plans tangents ou leurs normales, dont la détermination est encore nécessaire pour former les joints des voussoirs de certaines voûtes.

577. {Fig. 117.) Du plaît tangent dont le point de contact est donné. Soient Afl, B6, Ce, les trois directrices d'une surface gauche quelconque S, et H le point d'une génératrice GLMN, pour lequel on demande le plan tangent. Je mène les tangentes LT, MU, NV aux directrices données ; et en faisant glisser la droite G sur ces trois tangentes fixes, j'obtiendrai (n^* 521) un hjperboloïde à une nappe qui aura évidemment en L, M, N, les mêmes plans tangents que S. Donc ces deux «u^ faces se toucheront (n« 575) dans tous les points de la génératrice OLMN5 et, par suite, la recherche du plan tangent de la surface S an point H sera tàtnenéè k celle du plan tangent de cet hyperboloïde en ce même point, problème dont la solution a été indiquée au n^ 530. Mais il sera encore plus simple de recourir i un paraboloïde, comme nous allons l'expliquer au n*^ 579.

578. Observons d*abord que pour construire un hyperboloïde de raccordement le long de la génératrice G, il n'est pas nécessaire d'employer précisément les trois tangentes LT, MU, NV : il suffirait d'adopter pour directrices trois droites quelconques, situées respectivement dans les plans GLT, GMU, GNV, qui touchent la surface S aux points L, M, N; car l'hyperboloîde ainsi formé aurait encore évidemment trois plans tangents communs avec la surface S. Par consé'quent, t hyperboloïde de raccordement est susceptible d'une infinité de formes; aussi, parmi tou» ces hyperboloîdes tangents, il y en aura un qui offrira un contact plus intime avec la surface S, et qu'on appelle hyperboloïde osculateur : mais comme sa construction ne nous est pas utile à présent, nous en parlerons en traitant de liWfeuPbure des surfaces (vo/ez n° 744).

579. Un paraboloïde de raccordement offre la méthode la plus sitnpie potnr construire le plan tangent d'une surface gauche générale S. En effet (yîjr. 117), dans le plan tangent de S en N, lequel est déterminé par GN et NV, on peut toujours tracer une droite NR qui soit parallèle au même plan que les deux tangentes LT et MU ; car cela se réduit à couper le plan tangent GNV par un plan parallèle à LT et MU. Alors, si j'adopte les trois droites LT, MtJ, NR, qui se trouvent parallèles à un plan unique, pour diriger le mouvement de la génératrice G, j'obtiendw (n® 555) un paraboloïde qui aura encore trois plans tangents communs âvecw surface S, dans les points L, M, N; donc le plan qui touchera S en H sera le même (n" 575) que le plan tangent du paraboloïde ainsi formé : or ce dernier plan ^ construira par la méthode très-simple du n* 556. Nous offrirons bientôt tin exemple de ces constructions dans le problème du n** 608.

580. Lorsque la surface S admettra elle-même un plan directeur P, il suffira alors d'adopter les tangentes LT et MU aux deux courbes directrice», pour faire g\ii^