CHAPITRE IV. ^ PLàNS TANGENTS AUX SURFACES GAUCHES. a

la, . génératrice GLM parallèlement au plao P ; par là cette droite décrira immédiatement un paraboloïde qui aura bi^n deux plans tangents communs avec S et le même plan directeur. Donc (u® 576) ce paraboloïde touchera la surface S tout le long de GIjM; de »orte qu'en construisant le plan tangent de ce paraboloïde pour le point H (n^ S$6)» ce sera aussi le plan qui touchera la surface S en ce point {vojez rexeropledun^598).

581. Si une des directrices linéaires était remplacée par une surface directrice -2, à laquelle la génératrice de S devrait demeurer tangente (vo^ez n® S16), la GQurbe aa'a''.«., ibroxée par la suite des points de contact des génératrices Ga, G' a', G''a'',.,.f avec 2, serait au fond la troisième directrice linéaire; mais, sans construire cette courbe ni sa tangente, il n'y a qu'à observer que le plan tangent de la surface 2 au point a est le même que le plan tangent de la surface gauche proposée S, puisque Tun et l'autre doivent renfermer la droite G a et la tangente de la courbe uotfaf... Donc il suffira de tracer dans le plan tamjeni de 2, relatif au point a, une droite quelconque aR, laquelle, jointe aux tangentes des deux autres directrices linéairesy servira encore à former une surface auxiliaire du second degré, qui aura trois plans tangents communs avec S, et dont on tirera le même parti qu'au n"" 577. Cette méthode trouvera des applications utiles dans le^ épures relatives aux escaliers en pierre ou en bois {voyez aussi l'exemple du n^ 604).

582. Enfin, il peut arriver que la définition de la surface gauche S ne fasse pas connaître immédiatement iroU directrices, comme nous en avons cité des exemples au n*^ 519 j ou bien, que ces directrices étant données, on ne sache pas construire leurs tangentes. Dans ce cas, désignons par G la génératrice sur laquelle est situé le point H ou Ton veut trouver le plan tangent, et construisons plusieurs génératrices voisines,,.., G„ Ga, et G% G''..., qui précèdent et qui suivent la proposée. Alors, un plan tt, mené arbitrairement par la droite G, coupera ces génératrices voisines en des points ai, aai a', a", qui fourniront une courbe a,, aa, a', a"..., dont la rencontre a avec G fera connaître le point dans lequel le plan n louche la surface S; en efiet, ce plan ;:, renfermant la droite G a et la tangente de la courbe oo' «"..•, sera bien tangent à S dans le point a. De même, en conduisant par la droite G un autre plan n\ on trouvera le point ê où il sera tangent à S; puis, un tix>isièrae plan ;:", mené par G, louchera cette surface en un certain point 7. Cela posé, dans les trois plans tangents tt, tt', n% on tracera des droites quelconques «R, ST, 7V, que l'on adoptera pour directrices d'une surface gauche du second degré, laquelle touchera bien la surface proposée S tout le long de la droite G (n^ S78) ; donc la recherche du plan tangent de S au point H sera réduite à trouver le plan tangent de la surface auxiliaire du second degré pour ce même point : problème qui se résoudra comme au n*' S56 ou 530, selon que les trois directrices rectilignes auront été choisies parallèles, ou non, à un même plan.

a6o LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES.

585. Il résulte de là que tout plan ;r, mené par une droite G d'une surface gauche, se trouve^ en général, tangent à cette surface dans un certain point a, qui se détermine en construisant, comme ci-dessus, la courbe asa^o^a'^.., suivant laquelle ce plan coupe la surface proposée. Cependant, le plan n deviendrait asjrmpiote de la surface, si la courbe a,aaa'a"... ne rencontrait la droite G qu'à l'infini, ainsi qu'il est arrivé dans Thyperboloïde au n^ 546; ou encore, si ce plan ne coupait pas les génératrices voisines de G, comme dans le cas du paraboloide examiné ao n°561.

584. Ce qui précède nous permet de résoudre un problème intéressant, du moins sous le rapport de la théorie : c'est de construire la tangente à une courbe D tracée arbitrairement, et tout à fait inconnue quant à ses propriétés géométriques, mais donnée par ses deux projections.

• Pour cela (*), faisons passer par cette courbe une surface gauche S qui ait pour directrices la courbe D et deux droites A et B, prises à volonté. Après avoir construit la génératrice GH, qui passera par le point H donné sur la courbe D, on saura trouver, par le n** 382, le plan tangent de S pour le point H, sans emploj^er la tangente inconnue de la directrice D. De même, en formant une seconde surface gauche S', dont les directrices seraient la courbe D et deux droites A', B', trèsdifférentes des premières, on saura construire aussi le plan tangent de S' pour le point donné H. Or, puisque la courbe D est en même temps sur les deux surfaces S et S', sa tangente au point H devra être située dans les deux plans tangente dont nous venons de parler; et, par conséquent, elle sera fournie par rîntersectioU de ces plans.

Pour simplifier les opérations graphiques, on pourra former les deux surftces gauches S et S', avec deux seules directrices D et A, D et A', en y joignant d'ailleurs un plan directeur commun P. Une seule surface S suffirait évidenraieut, si la courbe D était plane, puisque le plan de cette courbe devrait renfermer là tangente demandée.

585. Des plans tangents dont le point de contact nest pas donné. On peut appliquer aux surfaces gauches les méthodes générales indiquées pour ces sortes de problèmes dans le livre V; mais ici, elles sont susceptibles de quelques simplifications notables.

Si le plan tangent à la surface S est assujetti seulement à passer par un point donné V, le problème admettra une infinité de solutions (n*^ 349), lesquelles seront fournies toutes par la ligne de contact d'un cône circonscrit à la surface S, et

{ * ) Celte méthode ingénieuse est due à M. Hachette. Mais il faut avouer que, dans la pratique, la multiplicité des opérations qu'elle entraîne ne produira pas un résultat plus certain que si Ton se contenuit de mener cette tangente au moyen de la règle, en lui donnant un petit arc de commun avec la courbe proposée.