CHAPITRE IV. — PLANS TANGEMTS AUX SUBFACES GAUCHES. a6l

ay^nt son sommet eu V. Pour obtenir cette courbe, il suffira de mener par le point V et par chacune des diverses géi^ératrices G, G', G",.--> des plans qui seront tangents à la surface S, en des points a, ê, 7,.., que l'on saura construire {xèP S83) ; alors la courbe aêy..., qui réunira tous ces points^ sera la ligne de contact cherchée.

S86. Cette marche sera fort commode, si la surface S est du second degré; car la ligne auxiliaire a, oL^oifa" du n^ 582, qui sert à trouver le point de contact a du plan mené par la génératrice G, se réduira à une droite dont il suffira de construire deux points, et la courbe définitive aSy. . . sera elle-même plane et du second degré (n«>553).

On pourrait ramener au cas actuel le problème du numéro précédent, en con* struisant le paraboloide de raccordement le long de chaque génératrice G de la surface quelconque S.

687. Lorsque le plan tangent à la surface S ^^vra être parallèle à un^ droite donnée D, on conduira par les diverses génératrices G, G^ G'")..., dçs plans parai* lèles à D; et en déterminant (n^ 583) leurs points de contact a, S, 7^.»», avec la surface S, la courbe aSy... sera la ligne de contact d'un cylindre, circonscrit à S et parallèle à Hi par conséquent, cette courbe aSy... fournira toutes las solutipns du problème proposé (n^ 578).

588. Si la surface S est du second degré, on retrouvera les mêmes simplifications qui ont été indiquées au n^ 586; et l'on pourra aussi ramener au cas actuel le problème analogue pour une surface quelconque S.

589. Lorsque le plan tangent à la surface gauche quelconque S devra passer par une droitedonnée D, il n'y aura qu'à suivre la marche générale indiquée n^ 395, laquelle consiste à chercher les points communs aux courbes de contact de. deux cônes qui sont circonscrits à S, et qui ont leurs sommets placés sur la droite D«

590. Mais si la surface gauche est du second d^ré, on résoudra le problème d'une manière beaucoup plus simple, par les considérations suivantes» Le plan tangent cherché devra contenir^ outre la droite D, les deuy génératrices dei'hyperbolo'ide(ou du paraboloide) qui.se coupent au point de contact inconnu; donc une^ au moins, de ces génératrices ira rencontrer D en un point M, dans lequel cette dernière droite traversera l'hyperboloïde.

D'après cela, si l'on commence par chercher (n^554', 5^) les deux points M et M' où la droite donnée D coupera généralement la surface; puis, si l'on construit les quatre génératrices MA et MB, M'A', et M'B', qui passent par ces deux points, il n y aura plus qu'à conduire par les droites D et MA, D et MB, deux plans qui satisferont au problème, puisqu'ils seront tangents quelque part à la surface (n^545). D'ailleurs, comme le plan DMA renfermera évidemment la génératrice M'B', qui a un point M' dans ce plan, et qui nécessairement rencontre MA^ et que l'autre plan

a6ft LIVRK VII. *- DES aURFACBS GAUCHES.

DMB contiendra aemblablement la génératrice M' A^ on voit que les points de contact a et ê de ces plans tangents seront £Durnîs immédiatement pv la rencontre de MA avec M'BS et de MB avec M'A'.

591. Il résulte de là que le problème en question sera impossible, toutes les fois que la droite D ne rencontrera pas l'hyperboloîde. Cependant, il ne faut pas comprendre dans cette exclusion le cas où cette droite, venant à coïncider avec une arête du cône asymptote» se trouverait elle-même asymptote de la surface : alors le plan tangent demandé serait celui qui touche ce cône le long de la droite D.

582. Considérons enfin le cas où le plan tangent cherché doit être paraUèle à nn plan donné n. Si la surface gauche S est quelconque, il faudra encore recourir à la marche générale du n^ 421 ; mais on. pourra y substituer les méthodea suivantes» lorsque la surface sera du second degré.

593. Pour un kjrperboldide gauche, on cherchera» comme au n^ ^48, les génératrices A et B, A' et B\ qui, dans les deux systèmes, se trouvent parallèles au plan tt; on sait que les deux premières seront parallèles entre elles, et que lejs deux autres offriront une relation semblable. Alors le plan conduit par les drpites A et B'» ainsi que celui qui passera par B et A^ satisfera évidemment au problème, puisqu'ils renfermeront chacun deux droites parallèles à ;: et qui se coupent. D'ailleurs» les points de contact seront immédiatement fourni» par la rencontre des génératrices A et B', B et A' ; et le problème pourra admettre deux solutions, ou une

.seule» ou aucune, suivant la discussion faite au n^ 547«

594. Pour un paraboloïde gauche, on trouvera encore plus facilement par le n^ 565, les deux seules génératrices A et B qui, dans les deux systèmues, sont parallèles au plan tt; et comme ces deux droites ne sauraient être ici parallèlea entre dles (n^ 554, 3^), le plan conduit suivant ces deux lignes sera bien paraUèle à ir, et fournira la solution unique du problème actuel. D'ailleurs, lepoiut de contact ie ce plan tangent sera donné immédiatement par la rencontre des génératrices A et B.

On aurait pu se contenter de construire une seule A de ces génératrices, puis de mener par celle-ci un plan parallèle à n; mais alors il resterait à trouver le point de contact de ce plan tangent» en cherchant la seconde branche de son intersection avec le paraboloïde» laquelle serait précisément la génératrice B. Le problème peut être impossible ou indéterminé» selon ce que nous avons dit au n^ 565.

595. THÉORÈME. {Fig. iiB.) Dans toute mrface gauche S^ les dwerses nomales MN» M'N', M"N%..., menées par tous les points d'une mime génératrice O^ forment toujours un paraboloïde hyperbolique.

Si Ton-désigne par 2 la surface lieu de toutes ces nornudes» et qu'on lui iasse faire un quart de révolution autour de la droite G, chaque normale MN, qui est déjà perpendiculaire à cet axe de rotation, décrira un plan et se rabattra suivant une droite MT» qui formera des angles droits avec GM et MN; par conséquent, MT

i^HAPITBE V< -^ SXEMPUft DIVBBS DE SflIIFAGBS GAUCHES. a63

se trouvera dans le plan tangent de la sarfaoe S. D'ailleurs, comme ce déplacement simultané de tontes les normales altère seulement la position de la surface 2, et non sa forme^ il suffira d'examiner quelle est la nouvelle surface 2' produite par les diverses droites MT, M'T', MT',..., qui sont tangenteskSj et qui satisfont en outre à la condition d'être toutes perpendiculaires à la génératrice G.

Pour cela, je fais glisser la droite G sur trois quelconques de ces tangentes^ sa* voir : MT, Jt/tTyl/t^T^i et, comme ces directrices sont évidemment parallèles à un même plan/ je forme ainsi un paraboloïde (n^ 555) qui, ayant les mêmes plans tangents que la surface S aux points M, M', M'', touchera cette surface (n* 575) tout le long de 6MM'. Or je dis que les autres tangentes M'^T'y..., sont pareille* ment situées sur ce paraboloïde; car si je le coupe par un plan perpendiculaire à GM et mené par le point M*', on sait (n^ 551) que la section sera une droite M''R qui, à cause du mecorrf^men^ établi entre S et le paraboloïde, se trouvera contenue dans le plan tangent de la surface primitive S, c'est-à-dire dans le plan GMf'V : d*où il suit que les[deux droites M^'R efMTY' coïncideront entièrement, puisqu'elles seront Tune et l'autre perpendiculaires à GM*", et placées toutes trois dans un même plan GM*T*: Donc M*!*' est bien située sur le paraboloïde que nous avons construit avec les trois premières tangentes. D'ailleurs, comme ce raisonnement s'appliquerait à toutes les autres tangentes de S, perpendiculaires à la génératrice G, il demeure prouvé que la surface 1% lieu de ces tangentes, est un paraboloïde hyperbolique; et la même conclusion s'étend à la surface Z, formée par les normales MN, M'N', . .., puisque celle-ci ne diffère de 2' que par sa position dans l'espace (*).

Ce théorème, remarquable par sa grande généralité, puisqu'il subsiste pour toutes les surfaces gauches, servira à assigner la nature des joints normaux dans les voûtes où la douelle sera gauche, et à prévoir aussi la forme des sections faites dans ces joints par ces divers plans.