EXEMPLES DIVERS DE SURFACES GAUCHES

§ 1*'. Conoide droit.

596. {Fig. lai.) Nous avons dit (n^ 520) qu'un conoide était la surface engen^ drie par une droite mobile, qui suppute constamment sur uitk droits et sur une courbe fixes, en demeurant parallèle à un plan donné. Ici, nous prendrons ce plan directeur pour le plan horizontal de projection, et pour directrices, l'ellipse (AZ'H, AH) et la verticale (O'Z', O); cette dernière étant perpendiculaire au plan directeur, le • - - - ^- -' — • — -^-- - -...-- . ..,■».. ... . .^^^^__^,^ . . . ...

(^ ) Cetlè démotistration fort simple, «t purement synthétique, est dae à M. /. Miâei.

a64 UVttE VIL — DES SURFACES GAUCHES,

conotde sera droit. Les diverses génératrices se constraîront bien aisément, puisqu'il suffira de conduire un plan horizontal arbitraire B'G', qui coupera l'axe au point (O, O*') et Tellipse au point (B'B), (G'G); puis, en joignant ces points, on trouvera (OB, 0"B') et (OG, CG') pour deux génératrices du conoide, et les autres s'obtiendront d'une manière semblable.

' 597. Il est certain que cette surface sera gauche; car, quelque rapprochés que soient deux points B' et G' pris sur la directrice, les génératrices correspondantes (BO, B'O") et (GO, C'O*') ne seront point parallèles, puisque leurs projections horizontales se coupent en O : et d'ailleurs ces génératrices ne pourront se couper dans l'espace, attendu qu'elles sont situées dans des plans horizontaux différents. En outre, il faut observer que ces droites, prolongées indéfiniment, formeront une seconde nappe projetée dans l'espace angulaire aOA; et que Ja verticale (O, CyZ'), suivant laquelle se coupent les deux nappes de la surface, sera une ligne de stricthoy attendu qu'elle indiquera la direclion de la plus courte distance entre deux génératrices quelconques.

598. Le plan tangent de ce conoïde, pour un point (M, M') donné sur unegératrice, s'obtiendra en appliquant ici la méthode générale indiquée au n^ 580. Je trace donc la tangente B'T au point de l'ellipse où aboutit la génératrice en question (OMB, 0"M'B'); et, comme l'autre directrice (O, O'Z') est une droite qui est elle-même sa propre tangente, je la conserve, et je fais glisser sur cette verticale 0 et sur la tangente B'T la génératrice (OMB, 0"M'B'), toujours horizontale : pai'là, j'obtiens un parabolo'ide de raccordement^ dont une seconde génératrice du même système est évidemment la droite TO, tracée dans le plan horizontal de projection. Alors, je coupe les deux génératrices OT et (OMB, 0"M'B') par le plan verlicàl MP, évidemment parallèle aux deux directrices, lequel devra donner (n** 551) pour section dans le paraboloïde une droite du second système, qui sera MP, M'P'). Gela posé, le plan qui passera par les deux droites (MP, M'P') et MB, M'B'), situées l'une et l'autre sur le paraboloïde, sera bien le plan tangent de cette surface auxiliaire, et aussi du conoïde proposé, puisque ces deux surfaces se raccordent (n® 576) tout le long de la génératrice (OMB, 0"M'B'). Or il est facile de voir que ce plan aura pour trace horizontale la droite Pa, parallèle à MB, et pour trace verticale la droite aB', qui doit se trouver aussi parallèle à M'F; ainsi, PaB' est le plan tangent du conoïde pour le point (M, M').

599. Si l'on voulait avoir le plan tangent relatif à un autre point (N, N') situé sur la même génératrice, le paraboloïde déjà construit servirait encore; il suffirait de le couper par le plan vertical NQ, parallèle aux deux génératrices, et la section, qui serait la droite (NQ, N'Q'), combinée avec la génératrice (NB, N'B'), fournirait le plan Q6B' pour celui qui touche le conoïde en (N, N'). On reconnaît ici que les divers plans tangents de cette surface, le long de la génératrice (OB, OB*)^ sont