CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES

bien disUncls les uns des autres, quoiqu'ils côntiejuient tous cette génératrice; et, par suite, leurs traces horizontales sont toutes parallèles à OB. Enfin, si Ton assignait le point de contact en (O, O'), le plan tangent deviendrait le plan vertical OBB'.

600. 11 est bon d'observer que toutes les droites B'T, M'P', N'Q',..., doivent aller rencontrer la verticale O'Z' en un même point que j'appellerai o^'; car ce sont les projections d'autant de génératrices du paraboloïde, appartenant au second système, et qui doivent toutes s'appuyer sur la génératrice du premier mode (OO'o'). D'ailleurs, comme les droites M'P% N'Q',..., seraient évidemment les tangentes des sections faites dans le conoïde par les plans verticaux MP, NQ,..., la relation pré* oédente s'accorde bien avec la nature de ces courbes, qui sont ici des ellipses ayant toutes vn axe commun O'Z'. Elles se construiraient aisément, en projetant sur le plan vertical les points où chaque plan, tel que MP, rencontre les diverses droites OA, OB, OB,..., du conoïde.

§ 2. Conoïde circonscrit à une sphère,

601. {Fig. 123.) Imaginons une droite mobile qui ^ restant toujours horizontale ^ sappuie sur une droite fixe (AH, A'H') et sur une sphère (RI, OT) à laquelle elle demeure tangente : la surface ainsi décrite sera encore un conoïde, dans lequel la directrice curviligne sera remplacée pai* une surface que devront toucher les diverses génératrices. Pour obtenir ces dernières, on mènera un plan horizontal quelconque C'S', qui rencontre la droite fixe au point (C, C), et coupe la sphère suivant un cercle du rayon K'S' ; alors, en conduisant à la projection horizontale de ce cercle les deux tangentes CM et Cm, ce seront deux génératrices du conoïde, qui seront projetées verticalement suivant la droite unique Cm'. D'ailleurs, si l'on projeUe sur cette dernière droite les points de contact M et m en M' et m', puis si l'on répète des opérations semblables pour tous les plans horizontaux qui peuvent couper la sphère donnée, on obtiendra une courbe fermée

(RLMNPQRç/jnm/R, R'L'M'N'P'Q'R"(jf>'n'm'/'R')

pour la ligne de contact de la sphère avec le conoïde circonscrit : cette courbe, si elle avait été connue primitivement, aurait pu remplacer la sphère directrice.

602. Afin d'obtenir plus de netteté dans notre épure, nous avons supposé ici que les génératrices du conoïde étaient terminées à leurs points de contact avec la sphère, ce qui laisse visible toute la partie de celte surface, située au delà de la courbe de contact par rapport à la droite (AU, A'H') ; mais, en deçà de cette droite, il existe une seconde nappe du conoïde, dont la partie supérieure et visible sur le plan horizontal se trouve formée par les prolongements BX, C|x, Dv,..., des génératrices inférieures B/, Cm, Dn,..., de l'autre nappe, et réciproquement. D'ailleurs, pour compléter le contour apparent du conoïde sur le plan horizontal, il faudrait tracer

4* édité H