CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES

ne rencontrera plus la directrice OO' qu'à l'infini. Au delà de cette position, la génératrice mobile s'inclinera en sens contraire, et ira couper la directrice OO' derrière le plan vertical (*).

607. La surface ainsi produite est gauche. En effet, pour passer de la position (M'N'O', MNO^) à une position infiniment voisine, la génératrice peut être censée glisser sur les deux tangentes M'T' et (N'V, NV) ; et comme évidemment ces tangentes ne sont pas dans un même plan, il en arrivera autant pour deux génératrices voisines. D'ailleurs, deux génératrices quelconques se trouvent dans des plans menés suivant OO', et ne pourraient se couper que sur cette droite ; or elles vont la rencontrer en des points différents, comme on le voit par les projections hori-

* zontales BD, KL, MN,.... Il est bon d'observer que ces diverses projections formeront, par leurs intersections successives, une courbe enveloppe de toutes ces droites, et qui sera le contour apparent de la surface sur le plan horizontal. Quant à la nature de cette courbe, et à l'équation de la surface elle-même, on pourra consulter V Analyse appliquée à la géométrie des trois dimensions y chapitre XV.

608. Construisons le plan tangent de cette surface gauche, pour le point (G, G') donné sur la génératrice (MNO", M'N'O') ; et pour cela, formons d'abord un paraboloîde auxiliaire ayant pour directrices trois tangentes de la surface qui soient parallèles à un même plan (n°579). Deux de ces directrices seront les tangentes M'T' et (N'V, NV) ; la troisième doit être une droite parallèle au plan vertical, et menée par le point C dans le plan qui touche la surface en ce point. Or ce plan tangent, devant contenir la droite 0"0' et la génératrice (MNO", M'N'O'), est précisément le plan CVCM'; et, par suite, la troisième directrice du paraboloide auxiliaire est(0"|x, O'M').

Cela posé, je fais glisser sur ces trois directrices la droite mobile (MNO", M' N'O'), et je cherche la position qu'elle prend, lorsqu'elle arrive au point (V, V) par exemple. Pour cela, je conduis par ce point et par la directrice (0"jx, O'M') un plan dont la trace horizontale est évidemment O'' Va, et la trace verticale une droite aS', parallèle à OM'; puis, comme ce plan rencontre la première directrice M'P au point (g', g), j'en conclus que 6V7, g'V'7') est une seconde position de la génératrice (MNO% M'N'O') du paraboloide auxiliaire. Maintenant, je coupe ces deux Hgnes par le plan vertical GH, parallèle aux trois directrices, et la droite (GH, G' H')

(*) Il y aurait, à la vérité , un autre moyen de faire remplir à la droite mobile la condition de s^appuycr constamment sur les trois directrices assignées. Car, si cette droite, passant toujours par le point Bxe O, gKssait sur le demi-cercle supérieur (AZ'B, Afi), elle rencontrerait nécessairement aussi la moitié ir\férieure du second cercle, et réciproquement; de sorte que la surface ainsi produite serait un cAne du second degré. Mais, comme on aperçoit bien que la position de cette surface n'est point propre à former une voûte qui recouvre l'espace ACDB , nous négligeons ici ce mode de génération.