LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES

est une génératrice (n^ 551) appartenant au second mode de génération du paraboloide; par conséquent, le plan qui passera par les droites (GH, G'H') et (MNO", M'N'O'), savoir OTM', sera bien le plan tangent du paraboloïde, et aussi de la surface gauche proposée, pour le point en question (G, G'). On observera que la irace PM' doit se trouver précisément parallèle à la projection verticale G'H' d'une des droites que contient ce plan.

S'il fallait (comme dans la Stéréotomie, n** 660) trouver la tangente au point (G, G') de la section faite dans cette surface par un plan vertical XY, parallèle aux cercles de tête, on n'aurait pas besoin d'achever la construction du plan tangent; car la droite (GH, G'H'), qui doit être dans ce plan tangent, et qui se trouve déjà dans le plan de la courbe, serait évidemment la tangente demandée.

609. De là on conclura aisément la normale de la surface gauche au point (G, G'); et en construisant de même les autres normales pour divers points de la portion (M'N', MN) de la génératrice, on obtiendrait un paraboloïde hyperbolique (n® 59S), qui serait propre à former le joint normal de cette petite voûte.

§ 4* ^^^ Hélicoïdes gauches.

610. {Fig. ia4) Après avoir construit une hélice à base circulaire(ABCD,..., A'B'G'D' n'A'^H"), imaginons une droite mobile {kOy h! a') qui gUsse sur celte kéUceet sur son axe (O, O'Z'), en formant d'ailleurs un angle constant avec cet axe : nous produirons ainsi un hélicdide qu'il ne faut pas confondre avec Chélicdide développabh déjà considéré au n^ 456 ; car celui dont il est ici question est gauche, comme nous allons le déinontrer, après avoir appris à construire les diverses positions de sa génératrice.

61 1 . Pour obtenir celle qui passera par le point quelconque (F, F') de l'hélice, prenons sur Taxe vertical un intervalle a'/', égal à la différence de niveau des points (F, F) et (A, A'), et la droite (F'/, FO) sera la génératrice demandée; car elle formera, avec l'axe et le rayon du cylindre qui aboutirait au point (F, F), un triangle rectangle évidemment égal à A'a'O' : de sorte que les angles aux sommets de ces deux triangles seront bien les mêmes, comme l'exige la loi de mouvement citée plus haut. Mais, pour rendre cette opération plus uniforme et plus simple, on observera que le tracé de l'hélice primitive a déjà conduit (n^ 451) à diviser la circonférence ABCH... et le pas de l'hélice A' A" en un même nombre de parties égales, ici quatorze; par conséquent, si l'on commence par marquer sur Vaxe vertical, à partir du point a', des intervalles a é', èV, &d% ci'e', e'/',..., tous égaux aux divisions du pas de Thélicè, il n'y aura plus qu'à joindre par des droites les points correspondants B' et 6', G' et c', !> et rf',..., pour obtenir les projections te^ ticalesB'<^', CV, lyrf',..., des diverses génératrices projetées horizontalement sur les rayons BO, CO, DO,....