CHAPITRE y. — EXEMPLES DE SUI^AGES GAUCHES. %6g

612. D'après cette construction, il est évident que deux génératrices, quelque rapprochées qu'elles soient, ne se trouveront jamais dans un même plan» Car,. 1^ elles ne sont point parallèles^ puisque leurs projections horizontale^ se coupent en O ; o? elles ne se coupent pas, puisque les points situés sur la verticale O y seront placés à des hauteurs différentes : donc cet hélicoïde est, une surface gauche.

613. Puisque les divers triangles rectangles formés par chaque génératrice avec Taxe et le rayon du cylindre qui aboutit au point correspondant de l'hélice, sopt (n^* 611) tous égaux à A'a'O', il s'ensuit que la portion de la droite mpbile, com* prise entre Taxe, et l'hélice directrice, conserve toujours la même longueur; par conséquent, on peut aussi regarder l'hélicoïde gauche qui nous occupe, cprnme engendré par une droite de longueur constante ( AO, A' af ) qui glisse sur une héUce^à bçse circulaire et sur son axe.

614. Dans ce mouvement, où la longueur de la génératrice et ^on inclinaispn sur l'axe demeurent invariables, il est évident qu'un point quelconque, (û;,/^) ^e cette droite mobile, reste à une distance constante aO de Taxe vertical (O, O'Z'), c'est-à-dire que ce point se meut sur le cylindre droit qui a pour base le cercle aîy.... En outre, comme les deux extrémités de la génératrice s'élèvent^ à la£tns, d'une quantité égale a' 6', ou aV, ou o'rf',..., il en sera de même du point (a, «'), dont les ordonnées verticales, comptées à partir du plan horizontal a'(ù\ seront toujours égales aux ordonnées du point (A, A') au-dessus du plan A'O'. Or œllesrci sont, par la nature de l'hélice que parcourt le point (A, A'), proportionnelles aux arcs AB, AC, AD,..., ou bien aux arcs aS, a^, aô^,...*, donc aussi ces derniers sout proportionnels aux ordonnées des positions qu'occupe le point (a, a') au^-dessu^ du plan horizontal (xf ot)\ lorsqu'il se projette successivement en S, Y» ()^,^« . :* pat* mnséquent (n® 446), ./a courte =. . ,

décrite par un point quelconque (a^ a') de la génératrice^ pendant son rnouvement, est une hélice de même pas qu,e ('hélice primitive ^m^s tracée sur un cyliqdre ponçentrique au premier.

Pour construire cette hélice, il suffirait, après avoir décrit le cerclç du rayon Oa, de projeter les points S, 7, cf,..., en S', 7', c^,..., sur les génératrices .déjà tracées; mais, afin d'éviter la rencontre de lignes très-obliques, il vaudra mieux couper ces génératrices par des horizontales élevées au-dessus de a'w', de i, 2, 3,..., fois Tintervalle a'6\

61 S. D'après cette proprié té» on pourrait aussi définir l'hélicoïde gauche comm^ engendré par une droite qui glisse constamment sur deux hélices concentriques, de rayons inégaux y mais de même pas, et sur l'axe commun de ces deux courbes. Par U, on assir