LIVRE VU. — DE8 SURFACES GAUCHES

gnerait trois directrices à la surface, et les autres conditions énoncées aux n^ 610 et 613 se trouveraient remplies d'elles-mêmes.

616. Il est évident que Thélicoïde gauche admet encore une nappe supérieure, laquelle serait engendrée par le prolongement a'U' de la droite (a' A', OA), qui a déjà décrit la nappe inférieure. Cette dernière est la seule que nous ayons voulu représenter ici, afin d'en laisser voir plus distinctement la forme; toutefois, nous ferons observer que non-seulement les deux nappes auraient de commun la droite (O, O'Z'), mais quelles se couperaient encore suivant une ou plusieurs hélices de même pas que l'hélice (ABCD, A'B'C'D'...). En effet, si Ton compare deux positions de la génératrice qui soient situées dans le même méridien, telles que ( AO, A' a'U') et (OH, /l'H'), on voit qu'elles se coupent en un point 1/ commun aux deux nappes, et qui restera constamment sur Tune et sur Tautre, lorsqu'il sera entraîné par le mouvement simultané de ces deux droites autour de Taxe. Or nous avons démontré (n*^ 614) que, dans ce mouvement, un point quelconque af ou u' de la génératrice décrivait une hélice concentrique avec (ABCD, A'B'C'D'...) et de même pas que celle-ci î donc, c'est bien une telle courbe qui formera l'inlersection des deux nappes de l'hélicoïde} et il existerait d'autres sections analogiies, si l'on prolongeait les génératrices assez loin pour que A' a'U' rencontrât h^R^'j A^H",..., en des points II", u"*,...» qui décriraient encore des hélices communes aux deux nappes.

61 7. {Fig, I a4. ) Représentation graphique de la surface. Elle est donnée par l'ensemble des génératrices successives que nous avons construites ; et si Ton restreint l'hélicoïde à sa nappe inférieure, et que l'on termine les génératrices aux points où elles s'appuient sur l'hélice directrice (ABCD..., A'B'C'D'...), le contour apparent de la surface, sur le plan horizontal, se réduira au cercle ABCHLAc

Quant au plan vertical de projection, le contour apparent se composera d'abord des portions A'B'C'D'G'H'L' et P'Q'A"B"C"F"H''L" de l'hélice directrice ; . puis, de diverses courbes symétriques X'Y'B', .r'yL',X"Y"B'',..., qui seront les enveloppes des projections verticales des génératrices. En effet, les droites AV, B'6', Ce', D'rf', formant avec Taxe O'Z' des angles qui vont toujours en diminuant, produiront par leurs intersections successives un polygone dont la convexité sera tournée vers l'axe; et si Ton conçoit ces génératrices multipliées indéfiniment, ce polygone deviendra une courbe X'Y'B', tangente à chacune de ces droites, et qui aura pour asymptote la génératrice particulière a' A' dont l'inclinaison sur Taxe est maximum en projection verticale. Cette courbe touchera aussi l'axe O'Z', qui est lui-même la projection d'une génératrice de la surface, en un certain poinl X', situé entre d' et e' ; puis, elle continuerait à avoir pour tangentes les prolongements des génératrices E'e', F'/, G'j/', H'/i', dont la dernière serait une nouvelle asymptote. Mais, comme ici la nappe supérieure de l'hélicoïde n'existe pas, h courbe enveloppe des génératrices se réduira à la partie comprise depuis le