CHAPITRE V. — EXEMPLEJJ DE SURFACES GAUCHES

ppint X', jusqu'au point (situé vers B') où la génératrice de Thélicoïde se trouve en projection verticale, tangente à la sinusoïde A'B'C'D'; seulement, dans cette dernière partie^ la courbe enveloppe se confondra sensiblement avec la droite

De même; la branche a/ ^ L' du contour apparent se tracera en la rendant tangente à Taxe entre les points n\ p% et tangente aussi aux génératrices n'N', m'M', /'IV, jusqu'à ce qu'elle touche la sinusoïde H'L'M'; et si l'on devait la prolonger plus loin, elle aurait pour asjmptote la génératrice /l'H'. Enfin, on opérera semblablement pour les autres branches X" Y"B", a:'y L" (*),

618. Sections remarquables. Si Ton coupe l'hélicoïde gauche par un plan mené suivant l'axe (O, O'Z'), on aura évidemment pour section des lignes droites, qui seront autant de positions diverses de la génératrice; et si l'on employait, pour couper la surface, un cylindre vertical aSy&XTc^ concentrique avec l'hélice directrice, il résulte de ce que nous avons prouvé au n^614, que la section surgit une autre hélice a'ê'yc^XV.-., de même pas que A'B'G'DX'F....

619. Maintenant^ coupons l'hélicoïde par un plan horizontal quelconque C'af^Hr. II suffira de projeter, sur le plan horizontal, les points G'', W\ î% S",..., où le plan sécant rencontre les projections verticales des génératrices de la surface, et Ton obtiendra la spirale OIKSs WG..,, qui s'étendrait indéfiniment, si l'on prolongeait assez loin les génératrices suivantes A" H", /"L",... D'ailleurs, si la nappe supérieure (n° 616), formée par le prolongement des droites RV, Q'ç',.. ., existait ici, elle serait coupée par le même plan G" a" K", suivant une autre branche O ik&. . . appartenant à la même spirale, et ces deux branches auraient pour tangente commune le diamètre AOH ; car les rayons OKG, OIB sont des sécantes dont les deux points de section avec la spirale se réunissent en un seul O, quand on arrive à la position OA.

620. La section que nous venons d'obtenir est une spirale d'Jrchimède. En effet, d'après la manière dont nous avons construit (n*>611) les génératrices de Phélicoïde, chacune de ces droites a pour différence de niveau, entre ses deux extrémités, un intervalle constant égal à OV, qui comprend ici sir divisions du pas de l'hélice; puis, comme les points F'^ E'', D%.,., sont au-dessous du plan G'V de i,

(*) Nous conseillons ici de tracer les courbes X'Y'B', a//'L',, .., en les rendant simplement Ungentes à la sinusoïde et aux projections des génératrices, parce que ce procédé oflrira toute la préckîon graphique que Ton peut désirer, en multipliant suffisamment les génératrices qui sont trèrtaciles à construire. Cependant, si l'on voulait déterminer les points de contact de cette courbe, il n'y aurait qu'à mener par chaque génératrice un plan perpendiculaire aa pian vertical; puis, chercher le point où ce plan serait tangent à Vhélicoïde, en employant la méthode que nous exposerons au n^ 6fi7 : alors, la suite de tous ces points de contact appartiendrait rigoureusement au contour apparent X' Y'B' de la surface ; mais cette marche serait très-laborieuse.