CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES

Irace, sur ce plan de naissance, la droite ^ô ; et sur le plan horizontal primitif, sa trace sera V^ parallèle à §9.

On opérerait semblablement pour un nouveau point (ij;, i|;')de la génératrice (DO, D'rf'), en employant toujours le triangle rectangle TOD, dans lequel on tracerait, parallèlement à DT, la droite ^Ç qui fournirait le pied (Ç, Ç') de la tangente à l'hélice passant par le point (t|;, ^|;').

622. Il importe ici de remarquer que, pour tous les points dune même génératrice (DO, D'(f ), les triangles rectanglesTDY,$&^,...^ auront des bases égalesTXV = (î? = .... En efifet, la hauteur du point (D, D') au-dessus de (A, A') est évidemment la même que celle du point (cf, c^) au-dessus de (a, af); par conséquent, les portions D'V et c^§' de la génératrice sont égales, et il doit y avoir aussi égalité entre leurs projections horizontales DY et â^. Mais Fangle à la base, V ou Ç, de ces triangles est variable; tandis qu'il serait constant et la base variable, pour les divers points d'une même hélice, attendu qu'en passant du point D aux points C, B,..., les côtés DV et DT varient dans le même rapport.

Il résulte de là que les plans qui touchent Thélicoïde dans les divers points d'une même hélice sont également inclinés sur le plan horizontal.

625. Observons encore que, pour tous les points d'une même génératrice (DO, D'd'), les pieds des tangentes aux hélices sont tous situés sur la droite (TO, T'a'), ce qui permettrait d'obtenir la projection verticale 6' sans recourir (n*^ 621 ) au plan de naissance a' w'. En effet, les hauteurs des deux points (O, a') et (0, 9') au-dessus du plan horizontal primitif fournissent évidemment les rapports égaux

O'a' A' a' AO DO TO, O'w' ■" A' a' "'Aa~"DJ"~Tô'

or l'égalité entre la première et la dernière de ces fractions indique que les ordonnées verticales des points (O, a') et (9, 0') sont proportionnelles à leurs abscisses comptées du point (T, T'); donc ces trois points se trouvent en ligne droite.

624. Il suit de là que les tangentes (DT, DT'), {&9, (^6'), (^j^Ç, f Ç'),.--, aux hélices décrites par les divers points delà génératrice (DO, D'e/'), s'appuient toutes sur les deux droites fixes (TO, T'a') et (DO, D'e/') ; et d'ailleurs, comme ces tangentes sont évidemment parallèles à un même plan vertical DT, il en résulte ( n** S49) qu'elles forment, par leur ensemble, un paraboldide hyperbolique qui touche la surface de l'hélicoïde tout le long delà génératrice (DO, Vy d).

625. C'est à ce résultat que nous serions parvenus si, d'après la méthode générale du n*^ 577, nous avions voulu former Chjperboloïde de raccordement le long de la droite (DO, I^rf'); car, en définissant l'hélicoïde comme au n® 615, par le moyen des trois directrices (ABCD.. ., A'B'C'D'.. .),(ag7(?..., a' 6' 7'(^...),(0,0'Z'), cet hyperboloïde aurait eu lui-même, pour directrices, les droites (DT, D'T'), (cW, <^ô'), (O, O'Z'); et puisqu'elles sont évidemment toutes trois parallèles à un

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374 UVBE vu. — DES SURFACES GAUCHES.

même plan vertical, cette dernière surfoce dégénère (n** 555) en un paraboloîde

hyperbolique, qui est celui dont nous avons parlé tout à Theure.

626. Ce paraboloîde a pour plan directeur du premier système de génératrices, le plan vertical DT; quant au second système, le plan directeur devrait passer par (TO, TV) et par une parallèle à (DO, D'rf')- ^^j »» !'<>« '^l* pa^^i»" ^^^^ parallèle du point (O, af)y il est aisé de voir qu'elle ira percer le plan horieontal en D; de sorte que TD sera encore la trace horizontale du second plan directeur, et il sera incliné d'une quantité angulaire égale à a'A'CV, ce qui achève de fixer sa direction* On voit ainsi que les deux plans directeurs sont à la fois perpendiculaires au plan vertical OD qui contient la génératrice de l'hélicoide; d'où l'on peut Conclure que l'axe du paraboloîde (n**572) est horizontal et parallèle à DT,

Pour toute autre génératrice que (DO, D'rf'), il est évident que le paraboloîde de raccordement demeurerait constant de forme^ et prendrait seulement une position analogue par rapport à la nouvelle génératrice.

627. [Fig, ia4.) Trouver le point de contact de l'hélicoide gauche, avec un plan donné qui passe par une génératrice connue. Ce problème, qui serait utile dans la Perspective et les Ombres ^ pour trouver la courbe de contact de Thélicoîde avec un cône ou un cylindre circonscrit à cette surface, pourrait se résoudre comme on l'a indiqué n*** 585 et 587 ; ou plus simplement, par les procédés des n**586 et 588, si l'on commençait par substituer à l'hélicoide le paraboloîde de raccorde» ment le long de chaque génératrice. Mais les opérations graphiques sont encore très-laborieuses, et nous allons donner une méthode beaucoup plus courte^ fondée sur la remarque du n^ 622 (*•).

Soit Vda trace horizontale du plan donné qui passe par la génératrice (DO, jyd) ; après avoir construit le triangle rectangle TDO, qui détermine la tangente de Thé* lice au point (D, jy) de la génératrice proposée, menez par le point t une parallèle tQ à DO, puis une perpendiculaire Qd) cette dernière fera connaître le point [dj #) où le plan donné touche l'hélicoïde. En effet, pour construire le plan tangent relatif à ce point ((?, d^), il faudrait (n^621 et 622) tirer, dans le triangle ODT, la droite ^ pei*pendiculaire sur c^O, puis prendre (?§ égale à DV, et la ligne 6Ç serait la trace de ce plan tangent sur le plan de naissance u'tù' à% l'hélice passant par ((^5 d'). Or il est évident que, d'après les constructions employées ci-dessus, la ligne B^ se trouvera parallèle à Y I; ainsi, le plan donné et le plan tangent pour le point (cf, (^) auront leurs traces horizontales parallèles, et, comme ils passent tous les deux parla droite (ODV, <f D' V), il coïncideront certainement Tun avecTautre,

628. HÉLICOIDE à plan directeur. La définition générale du n*»610 suppose

(*) Cette méthode a été iadiquée dans le Traité des Surfaces régîécê par M. Gasclieau, ancien élève de l^École^Polytechnique.