CHAPITRE V. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES. a

que ta droite mobUe glisse sur une hélice et sur son axe y en formant avec ce dernier un angle constant, muiê quelconque : lorsque cet angle est droit, toutes les positions de h génératrice ûe trouyent évidemment parallèles au plan horizontal qui devient ainsi un pUm directeur de la surface; et celle-ci, toujours gauche, rentre alors dans ]e genre des concèdes droits (n^ 520). Il est facile de voir comment toutes les propriétés reconnues dans Thélicoïde gauche général se reproduiront^ avec des simplifidations remarquables, dans Thélicoide particulier qui nous occupe; c'est pourquoi nous nous contenterons d'indiquer la forme de ce dernier^ en employant tm seul plan de projection, comme dans la fig. i^6j qui doit nous servir plus tard À représenter une vis. On y aperçoit l'hélice directrig^ ABCDE..., et les diverses positions A 0| Bi| C3|..«| delà droite mobile; puis, on démontrera plus facilement encore qu'au n°614, que tout point a de la génératrice décrit une hélice aêyd^s... cw^entrique ayêc la première, et qui a le même pas et le même plan de naissance que celle-là.

6S94 Quant au plan tangent de cet hélicoide, pour un point assigné sur une génératricei il se construira aussi eu cherchant, comme au n^62l9 le pied de la tangente à l'hélice qui passera par le point donné; et ce pied se déterminera encore au moyen du triangle rectangle ODT de la fig. 124 : mais, dans le cas actuel, les traces horizontales des divers plans tangents le long de la génératrice OD, partiront des points T^ d, Çy...^ et seront toutes parallèles k OD, puisque cette droite /loràontale se trouvera commune à tous ces plans.

630. {Fig. 124.) D'ailleurs, la droite (TO, TV), sur laquelle étaient situés (n®623) les pieds des tangentes aux diverses hélices, se réduira ici à la ligne TO tracée dans le plan horizontal ; et le paraboloïde de raccordement (n^ 624 et 626) aura pour ses deui plans directeurs le plan vertical DT et le plan horizontal luimême.

631. Enfin, le problème du n^627 se résoudra bien simplement ici, puisque étant donnée pour trace horizontale du plan assigné, une droite tO parallèle à OD, le point d, où cette trace rencontrera la ligne TO, permettra de tirer la perpeudiculaire $ây qui fera connaître le point de contact â que l'on cherchait.

La surface dont nous parlons ici est employée, non-seulement pour former la

vis k filet rectangulaire, mais encore dans les escaliers dits vis à jour circulaire, et vis

à nqj^au plein.

§ 5. De la Fis à filet triangulaire.

632. {Fig. ia5-) Imaginons un triangle isocèle à aka\ dont la base aa' coïncide toujours avec une arête d'un cylindre vertical à base circulaire, et dont le plan, passant constamment par Taxe de ce cylindre, tourne uniformément autour de cette droite; puis, concevons que ce triangle s'élève en même temps de qtian- Cités proportionnelles aux eq^MUses angulaires décrits par son plan mobile, et de

as.

aj6 LIVRE VII. — DES SURFACES GAUCHES.

telle sorte qu'au bout d'une révolution totale, le triangle générateur se soit éleyé d*une hauteur égale à sa base aaf^ c'est-à-dire qu'il ait pris la position a' A' ef. Alors, le solide engendré par ce triangle mobile sera le filet de la vis dont le cylmdre primitif est le noyau.

(J35. Il est évident que, d'après ces conditions et le n^446, le sommet A du triangle décrit une hélice ABCDEFA'B'..., qui appartient à un cylindre concentrique avec le premier, et dont le pas est égal à aaf; d^ailleurs, comme les côtés Aa et A a' rencontrent toujours l'axe, en faisant des angles constants avec cette droite, il en résulte (n^610) que les deux faces du Qlet sont des portions de deux liélicoîdes gauches^ dont la nappe supérieure de l'un (n**6i6) forme la Éace inférieurt du filet, tandis que la face supérieure de ce filet appartient à la nappe inférieure ie l'autre hélicoîde.

634. Pour représenter complètement cette vis, il faudra d'abord cofistroire (n^ 451 ), au moyen d'un plan horizontal que nous avons supprimé ici, la projection verticale ABCDFA'B'... de l'hélice décrite par le point A, en observant que fe pas AA' de cette hélice doit être pris égala la base aa,' du triangle donné. Ensuite, les divisions égales de ce pas, qui sont ici au nombre de dix, devront être reportées sur l'axe, à partir des points o et i6 où cette droite est rencontrée par les côtés A a et A a' ; ce qui produirait en général deux séries distinctes de points de division : mais ici elles n'en forment qu'une seule, attendu que nous avons choisi le triauglc Aaa', de manière que ses côtés comprissent, sur l'axe, un nombre exact des divisions du pas de Fhélice. Cela posé, en joignant le premier point de division B de l'hélice avec les points i et 17, le point C avec a et 18, le point D avec 3 et ig,-» on obtiendra évidemment les diverses positions du triangle générateur.

635. Toutefois, il faut terminer ces droites aux points 6 et 6', 7 et 7', ^ et ef, .> où elles vont rencontrer le noyau cylindrique de la vis. Or, ceux-ci n'étant autre chose que les positions successives prises par les points a et a' du triangle mobile, il résulte du n^614 que la courbe projetée sur aé7ya'6'... est une hélice de ffi^me pas que ABCDFA'...; par conséquent, on déterminera cette nouvelle hélice en coupant les génératrices indéfinies par des horizontales menées des points 4 ^^ ^ki 5 et i5, 6 et 16,.... D'ailleurs, comme le point a' est commun aux deux triaogte «Aa' et ofAfo^y il arrivera nécessairement que l'hélice aîyfOL'&y.,. sera aussi produite par les intersections des côtés B€' et B'6', C7' et C'7',..., ce qui offrira une vérification des constructions précédentes. Cette hélice formera ainsi tttréle rentrante de la vis, tandis que l* arête saillante sera l'héhce projetée sur ABCDFA'. •

636. {Fig. 125.) Quant au contour apparent des deux faces du filet, on doit bien observer qu'il n'est pas formé par deux génératrices rectilignes, mais par deux courbes XY et xjr, qui sont (n^ 617) les enveloppes des projections des génératrices, et qui ont pour asymptotes les génératrices particulières A a' et A' a'. Toutefois,