CHAPITRE V, — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES

TU que hes porrions des deux hélicoïdes gauches qui forment le filet sont peu étendues et assez éloignées de Taxe, les lignes XY et xry pourront être ici tracées ap* proxÎBiatWemeDt connue deux droites convergentes avec a' A et a' A', et qui devront toucher, l'une les deux arcs AYB et a'Xê', l'autre le;5 deux arcs A'jFeta'arç. D'ailleurs^ de ces deux branches du contour apparent» la première XY cache une partie de la seconde x/^ laquelle doit alors se terminer en un point Zy aitué à la hauteur de a^ à cause de la forme symétrique de ces deux courbes.

Ces remarques, qui s'appliquent à chaque angle rentrant du filet situé à gaudie, et qui se reproduiront d'une manière inverse pour les angles rentrants situés à droite^ suffisent sans doute pour que le lecteur se rende compte aisément des diverses ponctuations par lesquelles nous avons exprimé, sur notre épure, les parties visibles ou invisibles de la vis en question. Nous ajouterons seulement que le rectangle UVvu représente le parallélipipède qui forme la tête de cette vis.

§ 6. De la Fis à filet carré,

637. {Fig. ia6.) Le filet de cette vis est en|[endré par un rectangle A oXL dont le plan, qui passe par l'axe d'un cylindre droit et circulaire, tourne uniformément autour de cet axe, tandis que le rectangle s'élève le long des arêtes du cylindre, de quantités proportionnelles aiu espaces angulaires décrits par son plan mobile. Il en résulte évidemment que les points A et L décrivent, dans ce mouvement, deux hélices égales, dont le pas commun AA' ou LL' peut être choisi arbitrairement pourvu qu'il égale au moins le double de AL, afin de laisser un libre passage au filet saillant de l'écrou qui engrène avec la vis. D'ailleurs, les deux côtés Aa et LX, qui s'appuieront toujours sur ces hélices et sur l'axe, en coupant celui-ci sous un angle droit, engendreront des faces gauches qui appartiendront (n^ 628) à des héUcoides à plan directeur; tandis que le côté AL décrira une zone cylindrique, qui terminera extérieurement le filet de cette vis.

658. Pour représenter graphiquement la vis à filet carré, il faut d'abord con^ struire les deux hélices de même pas ABCDÊFAT'... et LMNPQRL'R'..., en se servant (n®451) d'un plan horizontal que nous avons supprimé ici; puis, tracer semblablement sur le cylindre du noyau les deux autres hélices aSyis(pa'... et ïfmp.n.j qui sont produites (n^ 628) par les points a et X, et dont le pas commun aaf doit égaler AA'. Ces deux dernières courbes sont les intersections du noyau de la vis avec les faces inférieure et supérieure du filet, et elles servent à limiter les portions des génératrices BS et Mjui, D(? et Pff, Fç et Rp,..., qui appartiennent à ces deux faces gauches. Enfin, on pourra ajouter quelques-unes des arêtes du cylindre extérieur, telles que BM, CN, DP^....

659. Parmi les diverses lignes dont nous venons de parler, le lecteur discernera aisément celles qui sont visibles de celles qui se trouvât cachées. Nous avons

SI78 UVAK VU. ^ DfiS SQftPACES GAUCHIS,

trâcé lee unes et les ûxxtttê complétetnent dans la première %fin dn filets to les ponctuant d'une man^fe convenable à leur position; mais, dans les autres qmresi nous n'airoûs conservé que les lignes visiblo, afin d'offirir ici un résultat tout à bit c(mfi>tme à celui que^présenterait au spectateur la Tua de robget eu relief.

§ 7* JDu Conoïde de la vodte d'arêtes en tour ronde.

640. (^Fig. 1^7.) Eu écarUnt les oirconstances qui sont ^f»écialemei»t relatÎTes à la stéréotomie, la question se réduira ici à trouver l'intersection d'un tore avec tm Côttoide, courbe dont les tav^nles donnent lieu à des recherches nouvcHes» et qui trouveront des applications utiles dans la Coupe des piarresn Is toté est engendré par la révolution du demi^cerde £^(76' qui, relevé dans le plan vertical B'^ tourne autour de la verticale ca, et forme la surface intérieure de la voil||e principale qu'on nomme un berceau tournant. Une porte pratiquée dans cette premîèfe voûiç, et limitée aux plans verticaux F/et Gg qui convergent vers l'axe de la tour, est recouverte par un conoïde dont la génératrice rectUi^e demeure toujours horizontale, en glissant sur la verticale tù et uir une seconde directrice formée de la manière suivante. On rectifie l'arc AOD suivant sa tangente aOrf, et sur cette droite comme grand axe, on décrit une demi-ellipse Af'CW dont le demi-axe vertical O'Cr est égal au rayon OB du cyB" du tore; ptiis, en imaginant quecsite ellipse, placée d'abord dans le plan vertical aOef, soit roulée mt le (fjrtmdre droit AOD, de manière que ses abscisses coïncident avec les arcs de cette circonfêrence, et ses ordonnées avec les arêtes verticales du cylindre, cette ellipse deviendra une ligne à double courbure projetée sur AOD, et que l'on adopte pour la seconde directrice ou pour la base du conoide.

641 • Cela posé, pour obtenir Tintersection de ce conoïde avec le tore, coupoas ces deux sur&ces par divers plans horixontaux. Celui qui passera par le point M' du méridien VGb\ coupera avec le tore suivant deux cercles décrits avec les rayons câF et ci>;/; puis, si Ton cherche sur l'ellipse les pointa M' et W qui sont à la même hauteur que M^ et que Ton prenne les arcs OP et OQ égaux atix abidsies C'F et O^'Q*, les points P et Q seront évidemmmt les projections des points où la base du conoïde est rencontrée par le plan sécant horizontal ; et, pau" scnlSf les sections bites dans cette surface seront deux droites projetées sur tù'P et (k>Q« Or ces droites rencontrent les deux sections circulaires en quatre points M, m, N, a, qui appartiennent à Tintersection des deux surfaces, laquelle se composera de deux branches à donUe courbure, projetées horizontalement sur GMOn/" et FNOni^»

642. Observons, i*^ qtfen prolongeant le conoide en arriéré de Taxe vertîcsl», il rencontrerait une seconde fois le tore suivant deux autres branches GjO,/i ^ ï^âOa^ai qitl sont symétriques avec les premières et se construisent par les mêmes opérations ; â^ que les deux nappes du conoïde sont censées terminéi» ici aux detix

CHAPim y, *-<- EXBUPilB DB SURFACES OAUGHES. ^79

eylinilii^s verticmixB'GBF.,,, et l>'gt^... qu'elles coupent wivant des courbes à donliile courbure^ qui ne sont autre chose que des ellipses roulées sur ces cyliudresi et ayant tout«s pour demi^axe vertical le rayon du tore ; c'est ce qui résulte *vi* demment d^ la proportionnalité des arcs horizontaux BG et BF, ou bg et hf^ avec les arcs OA et OD; 3^ que, pour faire servir le tore et le conoide à former une uaûte d'aréles, il faudrait supprimer entièrement toutes les porliom intérieures des génératrices i^ectilignes et ciri^ulaires, lesquelles sont ici ponctuées comme étant invisibles,

«45. {fig. îa^ . ) Il est à remarquer que chacune des courbes planes, telles que GO/, qui reçoivent la projection bôris^outale des courbes d'arête, est une spirale d^jirchimède. En effet, d'après la coustructîôn qui a fourni (n**6id ) le point quelconque M, TarcOP et la droite PM sont respectivement égaux aux abscisses O^F' et O'F des deux points W et M', qui répondent à une même ordonnée verticale dans l'ellipse et dans le cercle méridieii du tore; or, ces deux courbes ayant un axe vertical commun, on sait que de telles abscisses sont entre elles dans le rapport du grand axe au petit axe : par conséquent, nous aurons la proportion