OP ; PM ; ; OA ; OB

Mmsi sî.Voo prend un are OX qui soit ^vec OA dans le rapport de (»0 avec OBt nous pourrons remplacer 1^ proportion précédente par cdle*ci:

op:PM::ox:Oft);

et en faisant la somme des antécédents et celle des conséquents, il viendra

xp;wM;;:XO:caO,

résultai qui montre que le rapport de l'arc XP au rayon vecteur ci>M demeure constant pour tous les points de la courbe GMO/ci) ; par conséquent, cette courbe est une spirale d'Archimède, dont Y origine est sur le rayon coX qu'elle touche en se prolongeant suivant une autre branche cof , symétrique de la première. Pour avoir le pas de cette spirale, c'est^-à-dire le rayon vecteur qui correspond à une révolution entière, il suf6ra de construire une quatrième proportionnelle ù aux trois lignea suivantes : l'arc XO, la circonférence totale, et le rayon ei>0; alors on pourra, selon l'usage ordinaire» compter sur la circonférence du rayon è les arcs qui mesurent le mouvement angulaire du rayon vecteur mobile.

644. La courbe FO^^^y est aussi une spirale d'Archimède dont l'origine est ^ur le rayon gc)Ç, et qui ne coïncidera avec la précédente qu'autant que Tare OX % trQHV^r^ ég£|l 1^ Ui^ quart de cercle j pour obtenir cette coïncidence, il suffirait de prendre la demi-ouverture OA de la porte tellei qu'elle eut avec le quart de cercle le même rapport que OB avec Otù. Enfin^ les deux autres courbes G^Oa/» et FjiOajjfa appartiennent encore à deux nouvelles spirales d'Archimède, qui

a8o LITRE VII. •- DES SURFACES GAUCHES.

touchent les mêmes rayons XoX, et ÇcoÇ,, mais qui ont une situation opposée aux premières (*).

645. {Fig. 127.) La tangente en un point quelconque M sera donnée par l'intersection du plan tangent au tore avec le plan tangent du conoîde. Or le premier de ces plans a pour trace horizontale la droite YK, perpendiculaire à (k>M, laquelle s'obtient en ramenant en V le pied T' de la tangente M'T' du méridien circulaire; quant au second plan tangent, il faut d'abord construire (n^ 580) un paraboloîde qui raccorde le conoîde tout le long de la génératrice «PM. Pour cela, je mène la tangente M"T'' à l'ellipse plane; puis, en roulant cette courbe (n° 640) sur le cylindre vertical DOA, la sous-tangente deviendra PT = P"T", de sorte que T sera le pied de la tangente au point P de la base du conoîde : alors la génératrice &)P

(*) L'analyse condait aussi à ces résultats; car, si Tod adopte pour axe des x la droite «>0B, aoe perpendiculaire à celle-ci pour axe des Xf ^^ enfin la verticale &> pour axe des z; puis, si Ton pose

wO=:/, OB = R, OA = 0''A"=r^, on trouvera {Analyse appliquée, chap. XTV) que les équations du tore et du conoîde sont

y^ÏM^p R/

Alors, en éliminant z, il viendra , pour la projection horizontale de l'intersection de ces deux surfaces,

-4===±sin-(/^V'^^^ f' + J'* R/

Nous simplifierons cette équation en y introduisant les coordonnées polaires , au moyen des formules jr = r cos « , / = r sin a i car elle deviendra

sin a = ± sm — - :

d*où Ton conclut

. «(/ — r) ^ ^ail-^r)

ou bien

Ces quatre équations distinctes sont celles des quatre spirales construites dans notre épure; et pour ramener la première, par exemple, à l'axe polaire wX qui lui est tangent, il n'y a qu'à reculer l'origine des angles u, qui se comptent ici à partir et à droite de la ligne 0&>, en posant

« = «' — S"' d'où il résultera r = — «'. R a

Cette dernière équation est bien celle d'une spirale d' Archimède , dont les angles u' sont comptés à partir du rayon uX ; mais pour y introduire le pas de cette spirale, c'est-à-dire le rayon vecteur qui correspond à une révolution entière, posons

2 7rR/ - ., . . • k'

= tf, et il viendra r z= J — •

Il 27r