CHAPITRE y. — EXEMPLES DE SURFACES GAUCHES. a8l
du paraboloidé auxiliaire, qui doit glisser sur cette tangente et sur la verticale û^
en demeurant toujours horizontale, prendra la position oT quand elle arrivera
au pied de cette tangente. Cela posé, si je coupe les deux génératrices «P et «T
par le plan veWîcal MS, on sait (n** 551) que la section sera une droite projetée
sur MS et qui, jointe à la génératrice uM, déterminera le plan tangent du para-
boloîde; donc ce plan aura poiu* trace horizontale la ligne SK, parallèle à (îi>]y[.
Maintenant, les traces SK et YK des deux plans tangents allant se couper en K,
il en résulte que KM est la tangente cherchée.
646. Cette méthode ne peut plus s'appliquer immédiatement au point multiple
O, parce qu'en cet endroit, les deux plans tangents devenant horizontaux, ils
coïncident entièrement, et leur intersection reste indéterminée. Mais, si l'on cherche
à évaluer Tangle VMK = 9 qiie forme une tangente quelconque avec le rayon
vecteur correspondant, on trouve d'abord
^ KV MS tang0 = ;^ = p^;
puis, comme la sous-tangente P'T dans le cercle équivaut à la sous- tangente dans l'ellipse, PT' ou PT, multipliée par le rapport du petit axe au grand axe, il vient
, X ^ û ws OA , . ^ û M» OA
(i) *^°g® = PT-ÔB* ou bien tang9 = p^.^.
Or, dans cette dernière expression, la seule quantité qui varie avec le point de
contact M, c'est le facteur Mw, lequel devient égal à son dénominateur Pw, pour
le point particulier O ; donc l'inclinaison de la tangente en ce point sera donnée
par la formule
r \ . £j Ok Oa
laquelle montre que cette tangente Oa est précisément la diagonale du rectangle construit sur Oa et OB.
647. {Fig. 127.) La construction générale du n*' 645 est encore insuffisante pour obtenir les tangentes aux quatre points F, G, jf, /, qui sont à la naissance de la voûte ; «parce qu'en ces points, les plans tangents des deux surfaces devenant verticaux, leur intersection est une verticale qui serait bien tangente à la courbe d'arête dans l'espace, mais qui se réduit à un seul point en projection horizontale, et n'apprend plus rien sur la tangente de la courbe plane GO/, au point G. Cependant, si nous recourons encore à la formule (1), elle deviendra, pour le point G,
car les arcs OA et GB sont semblables et proportionnels à leurs rayons Aw et G«. Or, de cette dernière forme, il résulte évidemment que la tangente en G sera la 4» édit. * 36
àS2 LIVRE \Ul* — COURBURE DEB LIGNES ET DES SURFACES,
diagonale du rectangle construit sur GA et sur Tare GB rectifié; opération extrêmement simple que, pour laisser plus de clarté dans Fépure, nous avons effectuée au point F, en formant un rectangle avec FD et F6 = FB.
648. 11 est même à remarquer que cette mélhode très-avantageuse s'applique aussi au point quelconque M; car^ si dans la formule générale (i) on remplace le ^appôrt de OA à OB par celui de OP à PM, qui lui est égal d'après le n*' 643, il . viendra
ce qui prouve que la tangente LMK peut s'obtenir immédiatement, en forrtiant, sur MP et l'arc MI rectifié, un rectangle dont la diagonale sera la tangente cherchée. Ici, nous n'avons tracé que la moitié de ce rectangle, en prenant PL = Mî, et tirant LM, qui devra coïncider avec la tangente MK, déjà construite.
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