SUR LA COURBURE ET LES DÉVELOPPÉES DES LIGNES COURBES

649. Une courbe et sa tangente, qui n*ônt en général qu'un seul élément de commun, sont dites avoir entre elles un contact du premier ordre; mais, comme dans certaines questions on a besoin de considérer des lignes qui approchent fie se confondre avec la courbe proposée, plus que ne fait la tangente, il est nécessaire de distinguer ces rapprochements plus ou moins intimes, et l'on dit que deux courbes quelconques, planes ou non, offrent un contact du premier, second, troisième,..., ORDRE, selon quelles ont un, deux, trois,.. r, ihÉMEUTs consécutifs de communs.

650. {Fig, I ag. ) Comme le contact du second ordre se présentera très-fréquemment dans les applications géométriques, nous le désignerons souvent par le nom abrégé Ôl osculation ; ainsi deux courbes osculatrices seront celles qui auront deux élé' ments communs. Pour en donner un exemple, qui nous deviendra fort utile par la suite, considérons une courbe quelconque AMBj et, après l'avoir partagé en éléments égaux C), élevons, sur les milieux de MM' et M'M", deux normales KO et

(^) Si rt% élémealft éuiéot iûégiiux , mais toujoui^ infiniment petits, les mêmes c<mséqueiieei si^-

OHAPITRE I. — COURBURB ET DÉVELOPPÉES DEg LIGUES. a83

K'O situées dans le plan MM' M", lequel ne contiendra les autres éléments de AMB qu'autant que cette courbe sera plane. Alors le point O, où ces deux normales se couperont, sera le centre d'un cercle «M S, qui passera évidemment par les trois points M, M% M*', et aura ainsi deux éléments MM' et M'M" communs avec AMB; ce sera, par conséquent, le cercle osculateur de cette courbe pour le point M. Le rayon de ce cercle sera l'une des trois distances égales OM, OM', OM*; mais on peut adopter en place l'une des deux normales égales OK et OK', parce que la différence n'est qu'un infiniment petit du second ordre {vojez n? 197).

651. On voit par là que le cercle osculateur est unique pour chaque point M assigné sur la courbe AMB, tandis qu'il existe uîie infinité de cercles simplement tangents dans ce point ; mais le cercle osculateur variera de position et de grandeur en passant aux points M', M'',..., puisque alors il faudra opérer semblablement sur les deux éléments consécutifs M' M'' et M^'M"*, M" M* et M* M'",..., ce qui changera le rayon KO en K'O', K"©",..., Nous examinerons tout à l'heure (n«> 656) si ces rayons se coupent consécutivement.

652. Le plan du cercle esculateur, qui n'est autre que celui de deux éléments consécutifs MM' et M'M", ou de deux tangentes infiniment voisines MT et M'T', se nomme aussi le plan osculateur de la courbe AMB pour le point M; et, à moins cjue cette dernière ne soit plane, ce plan osculateur variera en passant d'un point à un autre de AMB. D'ailleurs, deux plans osculateurs consécutifs TM'T' et^M'^T* se couperont toujours suivant l'élément intermédiaire M' M".

655. {Fig. lag.) Quant à la courbure de la ligne AMB au point M, nous avons déjà dit (n^ 198) qu'elle était indiquée par l'angle TM'T compris entre deux tant gentes infiniment voisines, parce que cet angle, nommé angle de contingence ou de oourbure, exprime évidemment la quantité dont il a fallu écarter l'élément M'M" de sa direction primitive M'T, pour plier la ligne droite MM'T suivant la ligne polygonale MM' M* M*.., (*). Or l'angle TM'T' égale KOK'; et comme ce dernier a pour mesure Tare e décrit avec un rayon égal à l'unité, tandis qu'il comprend un arc KM'K' du cercle osculateur dont le rayon est OK rs-p^ on aura pour l'exprès» sion de la courbure au point M,

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Mais la courbe ayant été divisée en éléments égaux, la quantité ds sera constante

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sisterid^Qt, comme le calcul le prouve aisément. Toutefois, pour abr^er les démonstratious , il est plus simple de supposer qu'on a choisi des éléments égaux , ce qui est toujours permis. Voyez VAna-^ fyse appliquée^ chap. XVI, n» 5»i.

(*) 11 est bon d'observer que l'angle de contingence TM'T' est aussi égal à l'angle de deux plans normaux consécutifs , puisque ces plans seraient perpendiculaires sur les milieux des deux éléments MM'ctM'M*,

a84 LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES,

pour tous ses points; et Ton pourra dire que la courbure varie, d'un point à un autre, en raison inverse du rayon OK = p qui, pour cette raison se nomme aussi le rayon de courbure de la courbe au point M.

Observons toutefois que, pour avoir la mesure exacte de la courbure d'une ligne, et pour rendre cetle mesure applicable à deux courbes différentes dans lesquelles les éléments, quoique infiniment petits, pourraient se trouver inégaux de Tune à Tautre, et même avoir un rapport déterminé et nécessaire, il faut considérer, non pas la grandeur absolue de l'angle de contingence £, mais bien son rapport avec l'élément ds ; parce que c'est seulement sur deux arcs de même longueur^ que l'angle extérieur des tangentes extrêmes peut manifester, avec précision, la courbure plus ou moins prononcée de l'un de ces arcs par rapport à l'autre. Par exemple, dans deux cercles concentriques dont les rayons seraient doubles et les circonférences divisées chacune en un même nombre d'éléments égaux, les angles de contingence correspondants aux mêmes rayons seraient égaux, et cependant la courbure des deux cercles serait évidemment différente; mais, si l'on fait attention que les éléments de la grande circonférence ont une longueur double de ceux de la seconde,

on reconnaîtra que le rapport ^ indique effectivement une courbure moitié plus

faible pour le grand cercle que pour le petit. Il suit donc de là que la véritable mesure de la courbure d'une ligne quelconque sera toujours donnée par le rapport

-r OU -> as p

p désignant le rayon du cercle osculateur de la courbe, an point considéré.

654. Tout ce qui précède convient également aux courbes planes et aux courbes gauches ou cambrées : nous nous servons ici de cette dernière expression, au lieu de courbe à double courbure^ tant pour abréger que pour éviter l'emploi du mot courbure dans un sens inexact ou ambigu. En effet, nous pensons avec M. Vallée que quand une courbe n'est point plane, elle n'admet encore qu'une seule courbure qui s^estime comme au numéro précédent; mais elle offre en outre une cambrure ou espèce de torsion qui a étp produite en faisant tourner l'un des deux plans osculateurs consécutifs TM'T' et T'M'T", autour de l'élément commun M'M* : de. sorte que dans une courbe gauche, la torsion ou la cambrure est indiquée en chaque point par l'angle des deux plans osculateurs voisins. Or, si l'on rendait nul cet angle, en rabattant le plan T'M"T" sur TM'T', par une rotation autour de la droite M'M'', la torsion disparaîtrait et la courbe deviendrait /^/ane dans les environs du point considéré, sans que sa courbure eût augmenté ou diminué, puisque les angles de contingence TM'T' et T'M*"F seraient demeurés constants; au contraire, sans rien changer dans la position de ces deux plans osculateurs, ou dans la cambrure de la courbe, on peut altérer sa coiu*bure en écartant ou rapprochant les deux

CHAPITBE I. — COURBURE ET DâVELOPPÉES DES LIGNES. a85

éléments MM' et M'M". Par conséquent, la courbure d\\ï\e ligne et sa cambrure sont des affections indépendantes Tune de l'autre, et qu'il convient de désigner par des noms distincts, mais analogues; d'autant plus, que l'une dépend de l'angle de deux éléments linéaires, et l'autre de l'angle de deux plans. Au reste, on pourrait assigner la grandeur et la position d'un certain cercle de rayon i>, qui permettrait de représenter l'angle de torsion 6 et la valeur absolue de la cambrure, sous les formes

c/ = — > et T- = -î

V as V

analogues aux expressions que nous avons données ci-dessus pour l'angle de contingence s et pour la courbure de la courbe; mais, à cet égard, nous renverrons le lecteur au Mémoire de M. de Saint^Fenant, cité dans la note ci-jointe (*).

655. Les courbes planes et les courbes cambrées présentent, quant au lieu de leurs centres de courburCy une différence essentielle que nous allons faire ressortir.

( * ) Les deux affections d'une courbe gauche , dont nous avons parlé ci-dessus , ont d^abord été désignées sous les noms de première courbure et de seconde courbure. Mais , outre l'inconvénient d'appliquer des noms semblables à des affections de nature différente y ces dénominations ne semblent élre que des numéros d'ordre qui ont encore le défaut de rendre le discours traînant , et de produire quelquefois des ambiguïtés fâcheuses dans une démonstration où il s^agit de comparer plusieurs lignes distinctes que la clarté de la rédaction oblige à nommer : la première courbe , la seconde courbe. Aussi y d^autres avaient-ils plus simplement nommé ces deux affections: la courbure et \9l flexion d'une courbe. Cependant M. Vallée, dans son Traité de Géométrie descriptive, objecta avec raison que le sens naturel du mot flexion se rapporterait plutôt à la première courbure qu'à la seconde, et il proposa de désigner celle-ci par le mot de torsion. Ce dernier nom peint assez bien la transformation qu'il faut faire subir à une courbe plane pour la changer en une courbe à double courbure, et nous l'avions nous-méme adopté dans nos précédentes éditions. Mais M. de Saint- Venant, dans un Mémoire présenté à l'Institut en septembre )844 ^' inséré dans le 3o^ cahier du Journal de l'École Polytechnique, fit observer que les mots de flexion et de torsion indiquaient un changement de forme produit par une cause extérieure et souvent passagère, plutôt qu'une affection constante; que d*ailleurs il était nécessaire de réserver ces dénominations spéciales pour exprimer certains effets mécaniques qui se rencontrent dans la théorie des verges élastiques, et dont les résultats ne coïncident

pas toujours avec les changements que subissent les quantités — et -^ c^est ce qui l'a conduit, par

des raisons très- plausibles, à proposer de nommer ces deux affections la courbure et la cambrure de la courbe. En effet, ce dernier mol rappelle, par son étymologie même, l'espèce de courbure que produirait le mouvement d'un plan qui tournerait successivement autour de diverses droites, et c'est bien ce qui a lieu ici pour des angles compris entre les divers plans osculateurs de la courbe primitive. En outre, il propose de remplacer la dénomination fausse et incommode de courbe à double courbure par celle de courbe cambrée, plutôt que par le nom de courbe gauche qu'avait adopté M. Vallée; car ce dernier nom serait peu d'accord avec la nature de la surface développa bte qui est formée par les prolongements des éléments de la courbe, et qui a des rapports si intimes avec la caurbe elle-même.

a86 LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.

Parmi tontes les normales que* l'on peut mener en un même point M [fig. lag) d'une courbe quelconque, celle suivant laquelle est dirigé le rayon de courbure KO doit être tracée (n^OSO) dans le plan osculateur MM' M', et nous la distinguerons par le nom de normale principale. Or, quand la courbe AMB est plane, toutes les normales principales relatives aux divers points M, M', M",. , ., se trouvent dans son plan; et, par suite, elles se coupent consécutivement de manière à former une courbe OO'O"... à laquelle ces diverses normales sont évidemment tangentes; d'où il suit (n** 199) qu'un fil 0"'0"0'0K, plié sur cette développée, et déroulé successivement, décrirait par son extrémité K la ligne AMM'M^B.

656. Au contraire, quand la courbe proposée est gauche , les normales principales, ou les rayons de courbure, ne se rencontrent plus consécutivement. En effet (fig. a3o), concevons par les milieux K, K,', K*',..., des divers éléments, les plans normaux PQS, P'Q'S', P^'Q^'S'',..., qui se couperont deux à deux suivant les droites QS, Q'S',..,, et formeront ainsi une surface développable (n** 186), enveloppe de tous ces plans. Alors, si nous coupons les plans P et P' par le plan osculateur ^M'M' qui est perpendiculaire à ces deux4à, nous obtiendrons pour intersections lesdeuit normales KO et K'O' qui déterminent évidemment le centre O du cercle osculateur correspondant au point M , et dont la première sera le rayon de courbure relatif à ce point (*). De même, en coupant les plans normaux P' et P* par le second plan osculateur M'M^M*^, nous aurons pour sections les normales K'O' et K*0' dont la première sera aussi le rayon de courbure relatif au point M'. Or ce rayon Vi/Cy ne coïncide pas avec l'autre normale K'O^ puisque ces droites proviennent du même plan F coupé par deux plana osculateurs distincts • ainsi K'O' va ren*» contrer QS en un point I différent de O; et, par conséquent, les deux rayons da courbure consécutifs KO et K'O', n'ayant pas de point commun sur l'intersection QS des plans P et F qui les contiennent, ne sauraient eux-mêmes se rencontrer.

Il résulte de là que les centres de courbure O, O', O",..., n^étant pas donnés par les intersections successives des rayons de courbure KO, K'O', K"0",,.., la courbe que l'on ferait passer par tous ces centres n'aurait pas pour tangentes ce$ mêmes rayons, et, par conséquent, ceux-ci ne sauraient être regardés comme formés par le développement d'un fil qui entourerait la ligne OO'O".... Donc, enfin, le lieu des centres de courbure d'une courbe gauche AMIWM'\., 7i est point une développée de cette dernière ligne.

657. {Fig. i3op) Cependant la courbe gauche AMM'M"... admet une infinité de développées, ainsi que Mouge Ta fait voir. En effet, si, dans le premier plan normal P, nous traçons arbitrairement une droite KD, qui sera toujours normale

(♦) Il nous sera utile, plus tard, d'observer ici que cela revient à abaisser, du point K, une perpendiculaire KO sur la génératrice QS de la surface enveloppe des plans normaux.