CHAPITRE I. — COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES

à Ja courbe proposée, et ira rencontrer QS en un point D; puis, si, par les points K' et D, nous tirons la droite R'DD', qui sera dans le second plan normal P', puis la droite K^D'D" située dans le plan P", et ainsi de suite, nous obtiendrons par les intersections successives de ces normales, une courbe DD'WD'"... à laquelle elles seront tangentes, et qui pourra servir à décrire la ligne AMM'... par le développement d'un fil enroulé autour de cette développée DD'D".... Pour le prouver, il suffit de faire voir que les portions DK et DK' des tangentes à cette développée sont égales entre elles, ou bien que le point D est à égale distance des trois points M, M', M"; or cela résulte de ce que la droite QS étant l'interseclion de deux plans P et P' " élevés perpendiculairement sur les milieux des éléments égaux MM' et M'M", chaque point de QS est à la même distance de M, de M' et de M" : aussi, cette droite QS est appelée la ligne polaire de Tare MM'M", et les distances DK, D'K', D'K",..,, sont les rayons de développée qu'il ne faut pas confondre avec les rayons de courbure KO, K'O', K'^O",,... D'ailleurs, comme la première normale KD a été menée arbitrairement dans le plan P, on pourra donc, en faisant varier la direction de cette normale, obtenir une infinité de développées, situées toutes sur la surface polaire qui est l'enveloppe des plans normaux P, P', P'%..., de la courbe AMM'M"....

6^. Cette surface polaire et développable , lieu de toutes les développées de la courbe AMM^.., a pour génératrices rectilignes les intersections successives QS, Q^S'y Q'^S'^,..., des plans normaux ; et ces droites, qui se coupent évidemment deux à deux, forment ainsi (n*^ 178) [arête de rebroussemerit UV de cette surface développable. D'ailleurs , puisque chaque génératrice QS est perpendiculaire au plan oscutateur correspondant MM'M'', et passe par le centre de courbure O où se coupent les deux normales égales KO et K'O, il en résulte évidemment que les angles KDOet K'DO, formés par deux tangentes de la développée avec la génératrice inter* médiaire QSy sont égaux; et, par suite (n** 187), on peut affirmer que chaque déve^ loppée DD'D".., deviendra une ligne droite^ quand on développera la surface polaire enveloppe des plans normaux. Cela revient à dire (n*^ 187) que cette développée est la ligne la plus courte qui puisse être tracée sur la surface polaire, entre deux de ses points; par conséquent, un fil qui, attaché en K, serait tendu et plié librement sur cette surface développable, prendrait de lui-même la forme d'une des développées KDjyD"...^ puisqu'à cause de son élasticité, ce fil ne pourra demeurer en équilibre sur la surface qu'autant qu'il aura suivi la route la plus courte.

« D'après cela^ dit Monge, on conçoit comment il est possible d'engendrer, par un mouvement continu, une courbe quelconque k double courbure. Car, après avoir exécuté la surface polaire touchée par tous les plans normaux de la courbe, si» du point donné dans l'espace et par lequel la courbe doit passer, on dirige deux fil« tangents à cette surface, et si, après les avoir plies sur la surfj^ce en les tendant, on les fixe par leurs autres extrémités, le point de réunion des deux fils, qui aurak

a88 LIVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.

faculté de se mouvoir avec le plan tangent à la surface polaire, sans glisseV hî sur

l'un des fils ni sur l'autre, engendrera dans son mouvement la courbe proposée. »

659. Il est intéressant d'observer ici que la courbe UV, arête de rebroussement de la surface polaire, a pour plans osculateurs les plans normaux de la courte primitive AMB ; car les tangentes aSQ, a'S'Q' sont toutes deux dans le plan F. D'où il suit, d'après la note du n** 653, que l'angle de torsion de UV est ^alà l'angle de contingence de AB; et réciproquement, l'angle de contingence de tfV est égal à l'angle de torsion de AB, attendu que les plans normaux de la courbe UV sont perpendiculaires aux tangentes aSQ, a'S'Q', et conséqnemment panillèlesanx plans osculateurs de AB. Toutefois, il faut se garder d'étendre cette réciprocité â la grandeur même de )a torsion ou à la cambrure de UV qui n'égalera pas la courbure de AB, non plus que la courbure de UV n'égalera la cambrure de AB; car, d'après le n® 653, il resterait à diviser les angles indiqués ci-dessus par les éléments respectifs ao' et MM', lesquels ne sont pas, en général, de même longueur.

660. {Fig. i3o.) Lorsque la courbe AMM'... sera sphérique, c'est-à-dîre située entièrement sur une sphère d'un rayon quelconque, tous les plans normaux P, P', V^,.., iront passer nécessairement par le centre de cette sphère, et leur enveloppe, ou la surface polaire qui est le lieu de toutes les développées dé AMM^.., se réduira ici à un cône dont le sommet sera placé au centre de la sphère en question. Ce point unique pourra donc être considéré comme étant une développée particulière de la courbe AMM'...; et en effet, un fil attaché à ce centre pourra tourner autour de ce point sans s'allonger sensiblement, tandis que son autre extrémité demeurera sur la courbe AMM^.., dont tous les points sont à une distance constante du centre.

661 . Enfin, si la courbe AMM'... était plane ^ tous les plans normaux P, P', P*,..., seraient perpendiculaires au plan de cette courbe, aussi bien que leurs intersections consécutives QS, Q'S',... ; de sorte que l'enveloppe de ces plans normaux se réduirait k un cjrlindrey sur lequel seraient situées toutes les développées qu admettrait encore la courbeplane AMM'.... En outre, chacune de ces développées DIXÔ*... serait alors une hélice; car ses diverses tangentes, ou les rayons de développée KD, R'iy,..., formeraient tous des angles égaux (n° 659) avec les droite^ parallèles QS, Q'S',..., qui sont les génératrices de ce cylindre. D'ailleurs, le lieu des centres de courbure OO'O".,. redeviendrait ici une véritable développée, puisque cette courbe serait la section droite du cylindre enveloppe, et qu'on peut dès lors la regarder comme une hélice dont le pas est nul : mais celte ligne OO'O''... serait, parmi toutes les développées de la courbe AIVIM'..., la seule qui fût plane. Ainsi, par exemple {Jig. 96), la spirale développante de cercle ABCDL... a potir développée plane le cergle Aêyc^X... ; tandis qu'elle admet pour développées gauches toutes les hélices qui, comme (Aêy^X..., A'6'/c^X'...), ont leur origine au point (A, A')-