CHAPITRE I. — COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNES

662. {Fig. lag.) Observons ici que le cercle oscillateur aMê de la courbe plane AMB traverse ordinairement cette courbe, c'est-à-dire que s'il se trouve en dehors à gauche du point M, à droite il sera en dedans de la courbe. En effet, la partie recliligne OK du fil qui entoure la développée OO'O"... va continuellement en augmentant à mesure que Ton déroule ce fil ; donc les rayons de courbure qui précèdent OK sont plus petits que cette droite, et ceux qui le suivent sont plus grands; donc aussi l'arc MA de la courbe proposée sera embrassé par l'arc de cercle Ma, tandis que M"B se trouvera en dehors de M" S, du moins dans les environs du point considéré M. Cependant, lorsque la développée présente un point de rebroussement, comme cela arrive aux sommets d'une ellipse {fig. 76), alors le rayon de courbure devient un minimum ou un maximum, et le cercle osculateur se trouve, tant à droite qu'à gauche du point de contact, placé en dedans de la courbe, ou bien en dehors. Dans ce cas particulier, le cercle osculateur acquiert un contact du troisième ordre avec la courbe.

663. {Fig, i3o.) Une circonstance analogue se présente pour le plan osculateur MM' M" d'une courbe gauche AMB; c'est-à-dire que ce plan traverse ordinai^ rement la courbe, en laissant au-dessous de lui l'arc MA, et au-dessus l'arc M"B, parce que la torsion des éléments, produite (n*^ 654) par la différence d'inclinaison des plans osculateurs consécutifs, persévère en général dans le même sens. Cependant, comme, par suite de la continuité de la courbe proposée, l'inclinaison du plan osculateur ne varie que par degrés infiniment petits, s'il existe un point singulier où cette torsion change de sens, cela ne pourra arriver qu'autant que V angle de torsion aura passé par zéro ; et dans cet endroit de la courbe, trois éléments consécutifs seront situés dans un même plan osculateur, lequel se trouvera alors tout entier au-dessus de la courbe AMB, ou bien tout entier au-dessous.

664. Construire le plan osculateur relatif à un point assigné sur une courbe gauche, {Fig, 5i.) Soit N le point assigné sur la courbe gauche VNU, laquelle devra être

définie par ses deux projections. Si, pour obtenir approximativement deux tangentes infiniment voisines, on menait celle du point N et une autre extrêmement voisine, deuTL droites aussi rapprochées détermineraient, avec peu de précision, les traces du plan qui les contient. 11 vaudra donc mieux construire diverses tangentes à la courbe VU, pour le point N et pour d'autres situés à de médiocres distances, en arrière et en avant de N; puis chercher les traces de ces tangentes sur le plan horizontal, par exemple, et réunir tous ces points par une courbe continue ALD, qui sera la trace de la surface développable lieu de toutes les tangentes à la courbe VU. Alors, comme on sait (n*^ 181) que le plan tangent de cette surface est le plan osculateur de son arête de rebroussement, il n'y aura qu'à mener la tangente Ld à la trace ALD, et le plan NLd sera le plan osculateur demandé.

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665. Construire le rajron de courbure relatif à un point donné sur une coutbe gauche. Soit M le point donné sur la courbe gauche que nous désignerons par A ; con-

strnisons, comme ci-dessus, le plan osculateur n correspondant au poîntM, et projetons-y la courbe A, qui deviendra une autre ligne B ayant évidemment deux éléments communs avec la première. Dès lors, la courbure de A étant la même que celle de B en M, la question sera réduite .à trouver le rayon de courbure d'une courbe B, qui est plane.

666. {Fig. i4i.) Pour résoudre ce dernier problème, soit MN la normale de B au point donné M, et MC, MCv.., diverses cordes partant de ce même point Si, par le milieu de la corde MC, on lui mène une perpendiculaire IP, et que par le point P, où elle va couper la normale MN, on élève sur cette dernière droite une perpendiculaire Pa = MC; puis, si l'on repète des constructions analogues pour les autres cordes, la courbe aa'a^èë' ira couper la normale MN en un point O, qui déterminera le rayon de courbure MO de la ligne proposée. En eiTet^ lorsque la corde MC diminue do plus en plus, l'ordonnée Va" décroit pareillement, et la perpendiculaire TP" approche davantage d'être normale à la courbe MB; donc, le point O où la ligne auxiliaire aa'6 ira couper MN^ sera bien l'intersection de cette normale avec une normale infiniment voisine; et, par conséquent, le rayon de courbure de la ligne B pour le point M aura bien pour longueur MO {*).

667. ÉlarU donnée une courbe quelconque A, construire une de $es développées, et le lieu des centres de courbure.

On mènera divers plans normaux à cette courbe, par des points assez rapprochés ; et après avoir construit leurs traces sur les deux plans de projection, on dé^ crira une courbe a tangente à toutes les traces horizontales, puis une courbe ê tangente à toutes les traces verticales. Ces deux courbes a, € seront évidemment les traces de la surface polaire 2, lieu de toutes les développées de A (n^ 658); et Ton obtiendra diverses génératrices G, G', G%..,, de cette surface développable, en joignant deux à deux les points où les courbes a et 6 sont touchées par on même plan normal. Cela posé, du point de départ M, choisi à volonté sur la courbe A, on mènera une tangente MD à la surface 2, puis on efiectuera le développement de 2 sur un plan quelconque, où la développée cherchée, devant être une ligne droite (n^ 658), ne sera autre chose que le prolongement indéfini de MD. Alors, en marquant les points où cette droite MD rencontre chacune des génératrices y, y, /v*M àe 2 développée, puis rapportant ces points sur les génératrices primitives G, G', G'V-> on obtiendra la développée qui est tangente au rayon

{*) Cette méthode est tirée de la Céométrie des courbes, par M. Bergerj; et elle offre rayaatage, que la courbe auxiliaire vient couper à angle droit la normale donnée, ce qui fixe mieux la position du point cherché.