CHAPITRE I. •-' COURBURE ET DÉVELOPPÉES DES LIGNE

MD. En faisant varier cette droite, qui a pu être tracée de bien des manières, on trouverait d'autres déveIop|>ées de la courbe A.

668. Si du point M on abaisse une perpendiculaire sur la génératrice G, qui se trouve dans le plan normal relatif à M, le pied de cette perpendiculaire sera le centre de courbure de A pour le point M (n** 656, note); et le lieu de tous les centres de courbure s'obtiendrait en répétant cette construction pour divers points M', M",*.., de la ligne donnée A.

Ces diverses opérations seront ordinairement très-laborieuses, mais elles deviendront assez simples dans plusieurs cas intéressants, comme cela arrive pour les dmix ei^emples que nous allons étudier, et qui serviront d'ailleurs à éclaircir la généralité des considérations précédentes.

669. (J^ig' 101.) Étant donnée une développante sphérique, projetée sur DMPGQFf trouver le lieu de ses centres de courbure^ et l'une de ses développées,

Noos avons dit, au n^ 405, que celte épicycloïde particulière est engendrée par on point m d'un cercle mobile S"", dont le plan roule sur un cône fixe S'AE, pendant qu^ «on centre coïncide perpétuellement avec le sommet S' de ce cône; on a va aussty au n^ 49o, que le plan normal de cette courbe, pour un point quelcon«que (M, M'), est le plan S'AY dans lequel se trouve alors le cercle mobile, et qui est tangent au €oneûxe S'AE. Il s'ensuit donc que ce cône est précisément la sur«> face polaire^ enveloppe de tous les plans normaux, dont nous avons parlé au li? 6S8, et sur laquelle doivent être placés toutes les développées et tous les centres de courbure de la développante sphérique DMPGQF» Ainsi, d'après la note dii n^ Qoêf si nous abaissons du point (M, M') la perpendiculaire (MR, M') sur ia génératfiee de contact S'A du plan normal, le pied (R, W) de cette perp^dicu» laire sera le centre de courbure correspondant à (M, M'), et la vraie 'grandeur du rayon de courbure sera RM. Semblabiement, lorsque le point générateur se trouvera projeté en Ng, époque où le contact du cercle mobile est arrivé en A,, la pwpendîculaîre W5B5, abaissée sur la génératrice OA5, sera le rayon de courbure, et Bs la projection du centre de courbure : sa projecli<m verticale serait facile à obtenir. Enfin, pour le point P, qui répond à un quart de la révolution du cercle vaobih^ le rayon de courbure sera PO, égal à S"A; de sorte que le lieu des cen^ très de courbure aura pour projection horiaontale une courbe à double nœud DRRsOB^G, . ,0, . .F que nous n'avons pas achevée, afin d'éviter la confusion, mais qui passerait deux fois par le point O, et dont la partie OR9GO répond à un arc situé sur la nappe supérieure du cône S'AE.

670. Pour suppléer à la projection verticale que nous n'avons pas voulu tracer ici, nous allons construire sur le plan du cercle mobile les positions occupées succejssivement par ton* k» ^c^tre» de çoarburç. Or, d'après la méthode exposée cir dessus pour le point quelconque (M, M') de la développante sphériquci, on doit

aga LIVBE VIIL — COURBURE DES LIGNES ET DES SUBrAGtS*

voir que si l'on tire les rayons S''^^, S^a^, S'^a^y...yqm représentent les génératrices suivant lesquelles le cône est touché successivement-par le plan du cercle mobile, et qu'on leur mène les perpendiculaires mr^^ mrg, mr^^.,,f parties du point générateur m y ces perpendiculaires seront les longueurs précisés des divers rayons de coui'biire; et leurs pieds, qui forment évidemment une circonfiérenoç- de -cercle, iront coïncider tour à tour avec les vrais centres de courbure de la développante sphérique, lorsqu'on fera rouler le cercle S"A sur le cône S'AE, Il en serait de même si Ton ployait le plan de ce cercle pour l'appliquer sur le cène, par une opération inverse de celle qui sert à développer celte surface; de sorte que la circonférence mrrj^r^S"r^.,. peut être regardée comme k tran^rmée du Heu des centres de coiirburei lorsqu'on développe lecôneS'AE qui contient réeUement tous ces centres (*).

671 . Quant à la construction d'une dévehppée de la développante spfaérîqne, il faut se rappeler (n^ 638) qu'une pai^ille courbe doit dévenir reçiitigne lorsqu'on développera la surface* envelojipe de tous les plans normaux, laqiielle est' ici le cône S'AE. Si donc, sur le cercle rabattu en S", on trace une droite arbitraire partant de m, telle que maSyrf, il n'y aura plus qu'à transporter sur le cône S'AE les points a, g, y>. •> où cette droite rencontre les divers rayons S'^ae, S^a^y S"ati--7 qui représentent autant de génératrices de ce cône; or il est bien facile dere^ trouver les véritables positions de ces génératrices sur les deux plans de projection, et d'y rapporter, à partir du sommet S, les longueurs S^a, S"€, S^'y,..., ce qui fournira les deux projections de la développée en question. Nous n'avons point effectué ces opérations sur notre ^ure, afin d'éviter la confusion qui en serait résultée pour ie lecteur ; mais nous les achèverons dans le problème suivant, où les résultats offriront plus d'intérêt.

672, Étant donnée une hélice à base circulaire (ABCDEF... A'B'C'D'E'F'b-), «maver le lieu de ses centres de courbure, et l'une de ses développées.

{Fuj. ia8.) Après avoir construit la tangente (ET, ET) de cette hélice, menons le plan normal correspondant E'N'N, lequel passe évidemment par le rayon (OE,E') du cylindre qui contient cette hélice, et fait avec l'axe vertical O un^e complémentaire de celui que forme la tangente. Or cette dernière b'gne ayant une inclinaison constante (n'' 450) quelle que soit la position du point de contact (K, E') sur l'hélice, il s'ensuit que tous les plans normaux de cette courbe auront

(*) Ce résultat remarquable est emprunte à un. Mémoire intéressant de M. T/i, Olipier^ sur les centres de courbure des épîcycloïdes , insérée dans le xxiii* cahier du Journal de V École Polytechnique. Toutefois, nous croyons devoir avertir que, dans ce Mémoire, il s'est glissé une erreur sur/fl prqjectwn du Heu des centres de coiirbufe de la développante sphériqoe; car celte projection ne saurait éu%, comme on l'a dit par inadvertance, la développée de la projection horizoatale de là développante spbé^çue. .