CHAPITRE n. — DE LÀ COURBURE DES SURFACES. 3o

membre, on aura

ce qui montre que la somme des couRuuREsc/e deux sections perpendiculaires l'une à Tautre, quel que soit Tangle q?, est toujours constante et égale à la somme Ses deux

cov WVM1E& principales. La somme g; + g; a été nommée quelquefois ta courbure de

ta surface; mais il vaudrait mieux appliquer cette dénomination à la moitié de cette somme, qui se trouverait ainsi une moyenne arithmétique entre la courbure maximum et la courbure minhnnm. D'un autre côté, M. Gams a désigné sous le

même nom de courbure de la surface^ la quantité "^g-g-, ou la moyen ne géométrique

entre les deux courbures principales. Quant à la construction graphique dasseo*^ tions principales et de leurs n'ayons de courbure^ nous attendrons, pour en citer des exemples, que nous ayons parlé des lignes de courbure^ parce que ces dernières offriront à la géométrie des secours fort utiles (*}.

696* (-P^* i35.) Pour chaque point M d'une surface quelconque S, on peut con^ slruire une surface du second degré 2 qui soit osculatrice de S (n° 684), tout autour de ce points Si^posons d'abord que la surface donnée S soit convexe eu M» et que MA et MB représentent se^ deux sections principales, ou les sections normales de cch/?v bure maximum et minin^um^ lesquelles ont pour rayons MG = R, MH^A'. Sur ]• normale MZ^ prenons uae distance arbitraire MO s c, que nous adopterons pour un des axes d'une ellipse MA' qui, tracée dans le plan de la section MA^ devra lai être oscuUtrice : pour remplir cette condition, ii suffît de choisir le second axe OA^ =? a de telle sorte que le rayon de courbure de l'ellipse au sommet M soit égal à R| ce qui donne la relation

Ç=R, d'où a=\/R7; ainsi le àerni-ne OA' ==:: a se déterminera en cherchant une moyenne proportion-»

( * ) Pour compléter les notions précédentes , nous ajouterons que si , par la tangente WV [Jig. 1 33),

on faisait une section oblique dont le plan formât un angle 0 avec la section nonnaïe MD qui passe

fmr lu même tangente MY, le rayon de courbure pi de la section oblique aurait avec le rajon p de

MD la relation suivante :

p,= pcosÔ,

laquelle exprime que pi est la projection de p sur le plan de la section oblique ; ou bien , que la sphère décrite avec le rayon p sera coupée, p£|r le plan de I4 section oblique, suivant un petit cercle qui sera précisément le cercle osculateur de cette section. C'est le théorème dû à Meunier, pour la dé- Qonstntioo duquel nous renverrons à notre An€ilyi9 appliquée^ cbffp* XVH} en faisant feulement observer ipi qu^, diaprés la fprmule précédente, les sections obliques faites dans une surface quel* conque seront toiyours convexes ou concaves en même temps que b section normale qui passera par la ménae tangente.

3o4 LIVRE VIII. — COURBDRB 0ES LIGNES ET DES SURFACES,

«elle entre R et c. De même, dans la plan de la section MB, cpr^ti^w^ns une ellipse MB' qui lui soit osculatrice, et qui ait pour ses demi-axes OM = c.^t OB'=i; ce dernier se déterminera encore par la relation

-=R', d'où b = slWc.

Cela posé, les deux ellipses MA' et MB' déterminent «Complètement un ^ipsotde 2 qui aura pour ses trois dem^axeeOM, OA', OB', attendu que leplaor de la courbe MB est perpendiculaire sur celui de MA; et je disque cetj ellipsoïde sçra osculaiew de la surface S, ce qui se réduit à prouver (n^ 684) que tout plan normal MOD coupe S et 2 suivant deux courbes MD et MD' qui ont Je métue VBLjon de courbure. Or, en appelant p et p' les rayons de ûes.déuii &ebtiDn&, ile^soroAit donnés (n~690et685) par les formules . . / . , i^î»

i = gCos^.? + ^,sin'.y, p=~cosȍ)^+~sin^g?, ^ .

lesquelles prouvent que p = p', d'après les valeurs précédentes de aétb.

697. On doit observer que Tellipsoïde 2, oscillateur dé S pour le point M, n'est pas utiique, puisque la longueur de Taxe c a été choisie arBîtràifènient ; ainsi, en prenant c = a = R, ou c = 6 = R', on le rendrait de révolution,' mais tion pas autour de la normale MZ. D'ailleurs, nous élirions pu émployei* deui hyperboles,' ou 3eux paraboles, pour courbes ôsculatrices des sections principales MA et^; et la surface osculatrice de S serait devenue un hyperboîoîdé à deux nappés', oii un paraboloïde elliptique, qui sont tous les deux des surfaces convexes. '

698. [Fig. 136!) Soit maintenant une surface S non c6nvéxè,"doTit lés sections principales MA et MB ont des rayons de courbure de' sens opposés, MG=îK, MH = R^ Construisons, comme ci-dessus, une ellipse MA^'qui sôît" oschlatrtce de MA au point M, et dont les demi-axes soient MO = c, longueur arbitraire prise sur la normale, et OA' = a, ligne déterminée par la relation a=^ y^Rc; mais, pour courbe osculatrice de la section MB, nous ne pouvons plus adopter une ellipse, car il n'existe pas de surface du second degré qui admette deux sections de ce genre, situées Tune au-dessous et l'autre au-dessus du plan tangent. Nous construirons donc une hyperbole B ML', qui ait pour demi-axe réel la lîgne MO === ^> f ^ P^^^ demi-axe imaginaire une droite 0B" = 6, perpendiculaire au plan de Tellipse, et telle, que le rayon de courbure de cette hyperbole (n** 200) vérifie la relation

^ = R', d'où b^yJWc.

Alors, l'ellipse MA' et l'hyperbole MB' détermineront complètement un hyp^^'

boloïde a une nappe 2, lequel sera bien osculateur de S au point M (n** oof )»

* car tout plan normal qui fera un angle 9 avec MA, coupera S et 2 suivant deux