CHAPITRE II. — DE LA COURBURE DES SURFACES. 3o

courbes dont les rayons de courbure p et p' seraient donnés (n^ 695 et 686) par les formules

1= icos> - ^sin»9, ^7 = ^cos»? - psin»9,

lesquelles prouvent que p = p', d'après les valeurs précédentes de a et 6. Nous aurions eu encore un hyperboioide osculateur de S> mai^ tourné en senscontraire, si nous avions mis l'eilipse à la place de l'hyperbale, el réciproquement; d'ailleurs, on ne doitpas oublier que l'axe c, dirigé suivant la normale MG ou MH, peut recevoir une longueur arbitraire. Enfin , si l'on avait adopté deux paraboles pour courbes osculatrices des sections MA et MB, on aurait obtenu^ pour surface oscuiatriee de S, un paraboloïde hyperbolique.

699. LIGNES DE COURBURE sur une surface quelconque. {Fig. j35.) Mowge a nommé ainsi la suite des points pour lesquels les normales de la surface S vont se rencontrer consécutivement, et nous allons démon treV qu'à partir de chaque point M donné sur S, il n'existe en général que deux lignes de courbure MaU, M6V, lesquelles se coupent à angle droit, et sont tangentes aux sections principales MAjj MB (n^ 690), dont elles diffèrent néanmoins, puisque ordinairement elles ne sont point planes, comme ces dernières. Commençons par étudier ces lignes.de cour* bure au sommet d'une surface du second degré.

700. [Fig. i3i.) Soient CA et CB les deux sections principales qui se coupent au sommet C d'un ellipsoïde, pour lequel la normale (Je la surface est CO j en menant un plan parallèle au plan tangent XCY, et à une distance C(ù infiniment petite, il donnera une section elliptique aêe, dont les sommets aet€ ^erout placés sur CA et CB; et si l'on prend sur cette courbe un point quelconque. N différent de a et 6, je dis que la normale KK de l'ellipsoïde ne rencontrera pas lu normale rCO relative au sommet C. En effet, cette dernière est projetée au centre o) de la petite ellipse, tandis queNK, qui doit être perpendiculaire à la tangente NT, se projettera sur le plan de celte même ellipse, suivant une droite KK', encore perpendiculaire à Nï : or on sait qu'une normale NK' de Tellipse acc ne va point passer par le centre w; donc la normale KR de la surface ne rencontrera jamais C&>, quelque près de C que soit pris le point Nj à moins qu'on ne le choisisse en a ou 6, sur une des deux sections principales CA ou CB, parce qu'alors la normale.de l'ellipsoïde serait projetée suivant l'un des axes aoj ou êw, lesquels vont passer par le centre w.

11 résulte de là que, pour le sommet C d'un ellipsoïde, il n'y a que deux lignes de courbure qui sont dirigées d'abord suivant les éléments Ca et Cf des deux sections principales. D'ailleurs, pour ce point particulier, il arrivera que les deux lignes de courbure coïncideront totalement avec les sections CAF et CBF; parce que les normales de l'ellipsoïde, mené.es par tous les points de la courbe CA, sont 4' édit, 39

3o6 LIVRE vm.-^ ootmMmc des u^nbs et m$ 6urpà<:e8.

situées dans le plan de cette courbe, attendu que les tangentes des sections horizontales, pour les sommets a, A,..o se trouvent toutes perpendicjulaîres m plau de Tellipse CAF. Les mêmes motifs s'appliquent à Vautra ^ecUpn principale CR¥.

701. Dans Thyperboloïde à une nappe de la/gr. i3a, on verra aisétnent qu'une section parallèle au plan tangent XCY< et placée au^lessoiis. à une distance infiniment petite, fournirait une hyperbole dont les deux sommets réels a et c sfr«ient suk* ACE; Undis que si cette section était au-^dessus deXCYi ce serait une bypierbole renversée dcmt les scmimets réels $ et A se trouveraient sur BGL* Or* comme la normale de la sur&ce se projetterait encore sur la normale de l'imc ou de l'autre de ces hyperboles, et que cette dernière droite ne va passer par le centre qu'autant que le point de contact coïncide avec l'un des sommet^; on en conclura, comme ci<-dessu8, que la normale QCH de Thyperholoïde en G ne peut être rencontrée par une normale inûniment voisine que quand cette dernière part d'un point de la section principale GA ou GB. Il est donc démontré qu'au sommet C de rhyperbol<;Hde, il n'y a encore quQ deux lignes de courbure, lesquelljss coïncident entièrement avec AC£ et BCL, par les mêmes raisons qvie danç Tellipi^i^e,

702i {Fig. i35«) Revenons majintenant à une surface générales que nous suppioserons d'abord cotivete, aiitoiur du point qu^onque M que Ton considf ne. li existe toujours (n^ 696) un ellipsoïde 2 qui est psculateur de S en M ; et si l'on coupe ces deux surfaces par un plan parallèle au plan tangent, et infiniment voisin^ non-seulement tous les points de la section aN S ainsi obtenu seront communs à 8 et à 2) mais encore les normale^ de ces denx surfaces, pour chacun des points a, N, 6,..., seront les mêmes. En effet, on a vu. que deux sections MD, MD',fCOQtenues dans un même plan normal quelconque, étaient osculatrices; c'est-à-dire qu'elles avaient deux tangentes consécutives comn3un.es, l'une en Jflij l'autre.raN* donc cette dernière tangente Nô, jointe avec la tangente NT de la courbe «K6, déterminera tm plan qui touchera en même temps S et ^ au point N^ et, par suit»; là perpendiculaire à ce plan sera une normale commune aux surÊices $ et 2. Gela posé, il a été prouvé (n® 700) que sur l'ellipsoïde 2, la normale MO du sommet ne peut être rencontrée par une normale infiniment voisine qu'autant que cellwi part du point a situé sur MA', ou du point S sitjué sur MB r donc aussi, sur la su^ face S, il n'y a que les deux normales «G et S H qui aillent couper la normale ItfO; et, par conséquent^ il n'existe, à partir du point M, que deux lignes: de courbure dont tes premiers éléments Ma et Mê sont communs aux sections principalesMA et MB-

Maintenant si, à partir de a, on voulait trouver un point infiniment voisin «' dont la normale allât couper la précédente «G, il faudrait choisir ce nouveau point sur une des deux sections principales relatives à a : or, en général, açKîune de ces deux dernières ne serait dans le plan de MA; par conséquent, la pfctt"**^ ligne de courbure Maa'U îsera gauche ordinairement, et elle se trouvera seulement

«llMAPrTHS II. ^ VË Là COUBBtnm D«6 SURFACES* 3o7

tarigentè à ta section principale M de A. Une conséquence analogue a Heu pour la fteconde îlgtie t!e courbure MÇV, qui touchera la section principale M S B, mais différera ordirt^itsement de celle*-cî dans le resté de son cours; et, d'ailleurs, ces deux lipieÈ de courbure MU et V se couperotH à mujle droit en M, comme les deux sections principales auxquelles efies S0nt tang^entes.

705: (Pig. r35. ) Ert outre, les portions MG et MH de la normale primitive MO, déterminées par sa renconire avec léb deilx normales voisines, et que Mouge a tiommées les tayvns de courbure de la sutface au point M, ne sont autre chose que Iti&A^xïtTajrons principaux définis an n^ 690. En effet, les droites MG et aG étant normiiles à là surface S, le sont nécessairement à la courbe MA; et comme elles sont d'ailleurs dans son plan , leur rencontre G est bien le centre du cercle oscuïateur(n^ 6S0) de la section MA : de même, H est le centre de courbure de la section MB; mais la dénominrition adoptée par Monge tient à une propriété quHl importe de faîte ressortir.

Sî du point G comme centre, avec une des normales GM, G«, qui sont égales "(n*'850), on décrit une sphère, elle touchera la surface S en deux points consécu* l^sM et a, puisque deux de ses rayons sont normaux à S; et 11 en arrivera autant po\fr lai sphère décrite du point H, avec le rayon HM = H6. Tandis que si^ avec le rayon de courbure MI = NI d*une autre section normale MND, on décrivait une sphère, elle toucherait la surface S seulement en M, et non en N; car le rayon NI ne serait pas normal à la surface S, puisque nous venons de prouver que la véritable normale NK ne peut aller couper MO. Ainsi, les portions MG et MH de là normale en M sont les rayons de deux sphères qui seules peuvent avoir deux plans tangents consécutifs communs avec S, et dont la courbure exprime le maximum et le minimum dé courbure que présentent les diverses sections normales autour du point M. Toutefois, M ne faut pas dire que ces deux sphères sont oscubtrices de S; parce que le double contact qu'elles ont chacune avec cette surface n'a lieu que dans une direction, et non tout dutoilr du point M, comme l'exigerait le véritable caractère de rosciïlatfôn générale (n^ 684).

1f04. Il faut aussi se garder de croire que MG soit le rayon de courbure de la ligne de cour*bureMaU, e'est*à-dire le rayon du cercle qui aurait avec cette ligne deux éléments communs. En effet, il est bien vrai que les deux droites MG et a G, étant normales à la surface, sont aussi telles par rapport à la courbe MaU : mais pour que leur rencontre G donnât le centre de courbure de MaU, il faudrait que ces normaks fussent situées toutes deux dans le plan osculatear de cette courbe (n^ 6S0); ce qui n'arrivera que dans le cas particulier où MU coïncidera avec MA, ou du moins lorsque MU e! MA auront un contact du second ordre.

705. » {Fig. 1 36.) Pour une surface non convexe, on démontrera d'une nxanlère tonte sémUable l'existence et les propriétés des deux lignes dé courbure relatives t

3o8 LIVRE YIII. — COURBURE DES UGîïES. ET IMJS SURFACES.

un point quelconqye M, en construisant (n** Q98>.l'hypepboloïde Morf^^eurde celte surface en M, et y appliquant ce que noifs avqus, prouvé pwi: )a rpopcatre des normales au sommet d'un hyperboloïde (n? 7Q1), gçuWmenticii.Jî^deW osntres de courbure G et H seront placés l'un au-dessous, l'autre aMrd?^s^iSi4u plaoi langent; mais toutes les relations précédentes seront égalemanl; yr^jes,.: j, >

706. Lorsque le point M^ considéré sur.une sui;i^ce qHej|coiiqqe9.S0rR unàmbitic (n*' 692), le nombre des lignes de courbure d/eviendra iiMléfinî, coffiini^ cel^i des sections principales auxquelles elles doivent étre.tai?gen(^s;.iAais<)eUe4^>rco»slxiDce particulière ne se présentera jaipais daiîs.les ^urfao^non cpnvexes, pgâi^qney -quand même les rayonp principaux seraient éga,ux ea gr^^fldewr absolue;, il» iHô sermwt pas identiques qufint à la position, i ... . . j. ; î. •;

707. Après avoir ainsi démopiré gé^éralçme^t l'existence de .deux lignes de courbure pour cl^ue point d'une surface quelconque, il est boni 4e citer divers exemples où la détermination de ces lignes s'effectue immédiatement, i

{Fig. i39et j4o.) Dans une surface de. révolution décrit^^p^unjïnéridten quél^ conque AME, ce méridien est lui-même une }xremière.}igae de courbure pouir diacun de ses points^ tel que M j car les aorjuAles de U surfacerMlO, ^G| ct'G^,..., « trouvant contenues toutes dans le plan njéridien (n?. iSO), iront. ae XîOtftperjOWsé- . culivementsur la développée GG'G"... de ^ paiu:be,MA, Lî^seoopdelîgîieaQcou^ bure passant par le point M, est évidemment )e parallèle M^V^ puisqiie toutes ks normales de la surface qui partent des points M,,ê, V,..,^ voBt aboutir (n^r 430) au même point H de l'axe, Ajoujonsi qu'ipi les deux rayons de. courbure de la surface sont : 1° le rayon de courbure GM du qiéridie»; a!^. la pontioa MH de la «ôrrtâlè comprise entre le point çppsidéré M et l'axe de révolution • . . ^ ,.»

708. Quant 3ux deux sections principales Ae. la surface (n^ 690), reluâres au point quelconque M, la première est enqorç le nïéï?idie.n^MA;.carleplan)de.cellte section doit contenir la normale MG de la sur£ace, et lelépaefit;Ma de la JigiÉede courbure qui lui est tangente (n° 702); et cettcçoweidence-aptière entra ïft sço tion principale et la ligne de courbure se reproduira. évidemipettt. toutes les fbis que cette dernière sera plcuie et que son phn renfarmera ia normale^deja satface. La seconde section principale pour le point M ne coïttcide plus.avec i'autreligoe de courbure MêV, parce que celle-ci, quoique plane, ne x^niûrjaxé pas k normale Mfl; mais on obtiendra aisémeut cette seconde section principale MêB, en conduisant suivant MHG un plan séca^it perpendiculaire au pbû. de la>preBa(tère section MA, et la courbe MSB aura un élément Mê commun avec le parallèle MêV. D'ailleurs, les deux rayons d^ courbure des sections normales Itfà'^t MB seront (n° 703) les rayon? de co.urbure MG et MH de la Siirface/

709. Dans un cylindre à base quelconque, la gi^i^ratrice rectiligne qui passe par le point considéré sera évidemnaent u^e pvemicire ligne de ço^jrbure; car^ le