CHAPITRE n. —DE LA COURBURE DES SURFACES. Sog

plan fftngelAt étant commun tout le long de cette génératrice, les diverses normales seront parallèles entre elles, êti contenues dès lors dans un même plan, quoiqu'elles n'aillent ici «e rcticontrer qti'à Tinfini. Cette génératrice sera en même temps une pretnière 'section princi|>âle, par la raison générale citée au numéro précédent; et la courbure de la surface sem rmlle dans le sens de la génératrice, puisque le rayon de conrbore fourni par la rencontre de deux normales voisines se trouvera infini. ^Ensuite, ôipar le point considéré on mètie un plan perpendiculaire à la génératrice, tttsectiùn orthogonale ainsi produite sera la seconde ligne de courbure, puisque I^Si TK>raiakfi du cylindre relatives aux divers poinls de cette courbe se trouveront évidemment dans son plan, et iront se couper sur la développée de cette section orthogonale dont le rayon de courbure devient ainsi le rayon minimum de la surface; c'est-à-dire que la courbure maximum du cylindre a lieu dans le sens de la section orthogonale, laquelle est aussi évidemment (n^ 708) la seconde section principale.

7I0|. On' verra de même que, dans un côtie à base quelconque, chaque gênératricie rectiligne est à la fois une ligne de courbure et une section principale, dans le sens de laquelle là surface oflre une courbure nulle; puis, comme toutes ces génératrictôs doivent être coupées à angles droits par les lignes de la seconde courbure; ces dernières seront les intersections du cône avec des sphères dont le centre commun sera placé au sommet. Quant à la seconde section principale, relative à un poïht'donné sur une génératrice, on l'obtiendra eh menant, par la normale du cône en ce points un plan sécant perpendiculaire à la génératrice.

7if i SM^g'agil d'une surface développable quelconque, la génératrice rectiligne sera encore à la fois une ligner de courbure et une section principale dont le rayon de courbure se f^d lèvera infini, attendu que le plan tangent de la surface est coiin»uii>'toDt-ie long de cette génératrice. La seconde section principale pour un point doiùiéM s'obtiendra en menant, par la normale en ce point, un plan sécaiK'per{iendiculaine à la génératrice qui y passe; et la seconde ligne de courbure qui. doit couper à angles droits tontes les génératrices sera une développante de l'arête de. rebrbu&semefit de la surface. Ainsi, dans Thélicoide développable de la yî^. 96, les' génératrices rectilignes sont les lignes de première courbure, et les lignes de Seconde courbure sont les sections horizontales, telles que ABCDOIPQ...; car cette apirale; coupe ^ angles droits toutes les génératrices, et elle est bien une

développante (n^'fiei) de l'hélice (A€7t>..., A'SY^'-O-

742. {Fig. i43') Lorsque la sur&ce proposée S sera gauche, la génératrice GMP

ne sera pl4s une ligne de coiirbure, puisque les normales le long de cette droite,

loin de se rencontrer, forment un paraboloïde hyperboHque (n*^ 593) ; mais GMP

se troutatit dans le plan tangent en M sera précisément la section d'un des deux

plam normaux limites {if 694) qui séparent les sections normales placées au-des«

3lO LIVRE VIII, -*• COURBURE DES LIGNES ET DES SORFAGES.

sons du plan tangent, d'avec celleâ qui sont sîtnées au-dessus. Or, comme le plan tangent en M coupera la surface gauche suivant une seconde branche Ma, si on lui mène sa tangente MQ, qui sera la trace du se4:ond plan normal iimité, et que Ton divise par moitiés l'angle PMQ et son supplément au moyen dtes droites MA et MB, ces dernières seront les traces des deux sections principales sur le plan tangent, et ce seront atissi les tangentes aux deux lignes de courbure partant de M.

713. Des résultats semblables auraient lieu pour une surface S qui, sans être gauche, serait non convexe, parce que le plan tangent d*une telle surface la couperait nécessairement suivant deux branches passant par le point de contact, et dont les tangentes indiqueraient encore la position des plans normaux limites; d'où Ton conclurait, comme ci-dessus, la direction des sections principales tt des lignes de courbure en ce point.

714. {Fig. 142.) Après ces divers exemples, rentrons dans la théorie générale, et concevons qu'à partir d'un point M, pris à volonté sur une surface quelconques, on cherche, parmi les points infiniment voisins, les deux seuls M' et K pour lesquels les normales vont couper celles de M; puis, qu'à partir de M', ôti fasse la même recherche qui fournira les points M" et K', et que Ton continué à opérer semblablement pour les points M'V • > KL, K',...? R, R'?-.; on obtiendra aînéideux séries de lignes de courbure

MM'U, KK'U', RR'U%..., et MKV, M'K'V, M"K."y%...,

lesquelles partageront la surface proposée en quadrilatères curvilignes^ dont les côtés se couperont toujours à angks droits {n? 703), et indiqueront les directions d<5S deux courbures de la surface, c'est-à-dire les directions où elle préstsjitera, autour de chaque point, une courbure maximum ou ti[iinifmim(n^ 70S).

715. Maintenant si, par tous les points d'une des lignes de la première coar* bure MU, on conçoit les diverses normales de la surface S, ces droites, qni ^^' contreront consécutivement, formeront une surface développable dont l'aréie de rebroussement GG'G% tangente à toutes ces normales, sera la suite des centres de là première courbure de S, relatifs à la ligne MU. Observons, d'ailleurs, que cette arête de rebroussement sera une développée (n^ 657) de la ligne MU, et que cette deraiëte se trouvera aussi une ligne de courbure (n° 711) pour fa surface d*^^' loppable formée par les normales en question. En opérant ainsi ponr chaque l'g"^ RU', RU", TU',..., de la première courbure, on obtiendra «ne série de «urfeces dérveloppabtes, chacune normale à S, et dont lés arêtes de rebroussetnetît GO'G^- » GiG'jG^j..., formeront, par leur ensemble, une surface 2 lieu des centres de h pr^ mière courbure de S, et à laquelle toutes les normales de cette dernière seront tangentes. De même, il existera une seconde surface l' lieu des centres de fa seco^ courbure de S, et qui sera formée par les arêtes de rebroussement, tdtes qti«