CHAPITRE lî. —DE LA COURBURE DÈS SURFACES. 3lf

HH'H"..-^<Je toutes les surfaces développables produites par les normales menées le long do chaque ligne de seconde courbure, MV, M'V, M^'V,...; et cette surface 2/ sera encore touchée par les uiémes normales que 2,

716. Ordinairement, les lieux 2 et 2' de tous les centres de courbure ne seront autre cl^ose que deux nappes distinctes d'une même surface courbe, assujetties à une génération commune, et représentées par une équation unique. Mais, quelqi^efois aussi, ce seront deux surfaces indépendantes; comme dans les surfaces de révolution, où la nappe 2' des centres de courbure relatifs aux parallèles se réduit à Taxe de révolution lui-même (n^ 707), et où la nappe 2 des centres de courbure relatifs aux divers méridiens est une nouvelle surface de révolution engendrée par la rotation de la développée plane du méridien (n^ 707) autour du même axe. Au reste, les deux nappes des centres de courbure de la surface S sont, par rapport à celle-ci, ce que les développées sont par rapport aux ligne? courbes.

717. (FiV/. i4î^«) 11 faut bien observai' que les surfaces développables, normales à S le long des lignes de première courbure MU, KU', RU",..., sont, tangentes à la seconde nappe des centres 2', tandis que la première nappe 2 est touchée par les surfaces développables qui passent par les lignes de seconde courbure MY, M'y, M^'V,.... En effet, les normales parties de M, M', M", se coupent sur la première nappe 2 en G, G', aussi bien que les normales parties de K, IL', K", qui se coupent en G^ G'^; mais la rencontre des normales de M à K, de M' à K', de W à K", se fait en H, H|, H^, sur la seconde nappe 2': donc cette nappe est le lieu des inlenectiom con^cutives de toutes Iqs surfaces développahlie^ de la; pr«« mière série, ou bien elle çst leur enveloppe {n? idO)^ Qt conséquemment elle se trou\e tapgente à chacune d'elles. On verra de même que la nappe 2 est l'entia^ loppe de toutes les surfaces développables relatives aux lignes de la seconde

coui:bure.

718. Ce qui précède montre que deux surfaoes développables normales à S, et qui appartiennent à la même série, ou qui passent par deux lignes de courbure de la in.éaie espèce, comme MU et ILU', se coupent suivant une courbe HBiH, qui est située sur la nappe des centrer de Tespèçe opposée. Mais si l'on compare les surface» dévelc^pahles de séries différente^, on verra qu'elles se coupent deux à deux suivant une normale de S, comme GMM'U et GMKV, qui ont pour intersec» tion la droite MG. De plu^, ceUe intersection se fait toujours à angU droite pui&que les plans M'MG et KMG» qui ^qnt évidemment tangents à ces deux sur&œs déreloppables» se trouvent perpendiculaires l'un sur l'autre, attendu qile les éléments MM' et MK. d^ deux lignes de courbure sojit perpendiculaires entre eux et à la normale MG.

719. Or le plan M'MG, tangent à une surface développable de la première séine, doit toucher (n** 717) la seconde nappe des centres 2'; et de même, le plan KMG

3l2 LIVRE VIII. —COURBURE DES U6NE8 ET DES SURFACES.

sera tangent à la première nappe 1 : donc^ puisque ces plans sont rectangulaires, toutes les fois que l'on considérera ces deux nappes d'un point de vue M pris à vo* lonté sur S, les contours apparents de ces deux nappes paraîtront toujours se couper à angles droits.

720. Observons encore que le plan M'MG est le plan osculateur de l'arête de rebroussementGG'G..., située sur la nappe 2; or, puisque ce plan est perpendiculaire sur KMG, qui touche cette nappe (n^ 717)> il s'ensuit que la courbe GG'G"'... a tous ses plans osculatcurs notinaux à la nappe 2; et, par suite (n^ 189), cette courbe est la Ugne minimum entre deux de ses points sur la surface 2. La même conséquence a lieu pour toutes les autres arêtes de rebrousseinent situées sur cette nappe^ comme aussi pour toutes celles qui composent la nappe 1',

72i. Si les deux nappes 2 et 2' se coupent quelque part, elles se couperont à angles droits, d'après ce que nous venons de dire; et leur intei^section $ s'appelle le lieu des centres de com4}ure sphërique, parce que chaque tangente à la courbe* sera une normale de S, qui ira percer cette surface en un point X pour lequel les deux courbures auront évidemment même rayon et même centre; de sorte qu'elles seront égales, comme cela arrive en chaque point d'une sphère. Aussi, l'ensemble de toutes les tangentes à l'intersection <J ira percer la surface S suivant une courbe XX'X"... qui se nomme la ligne des courbures sphériques, et qui coupe nécessairement toutes les lignes de courbure de première et de seconde espèce.

722. a II est bien évident, d dit Monge^ « que la ligne des courbures sphériques sur la surface S est une développante de la ligne des centres de courbure spbérique $. Ainsi, après avoir fixé un fil en un des points de cette intersection des deux nappes des centres, si, en le tendant, on le fait mouvoir de manière qn'il s'enveloppe sur cette intersection, et que la patrie rectiligne du fil soit toujours tangente à cette courbe, un des points de ce fil parcourra la ligne des courbures sphériques. Mais si, en tendant le fil^ on ne s'assujettit à aucune condition, et Yon suppose qu'il n'exerce aucun frottement sur les nappes des centres, dans quelque position qu'on le considère, il sera divisé en trois parties : la première sera enveloppée sur une partie de l'intersection des deux nappes; la seconde sera pliéeet tendue sur la nappe des centres dont le fil se sera rapproché, et sera appliquée sur une des arêtes de rebroussement (*) dont cette nappe est le lieu, et cesde"^ parties de courbe se toucheront à leur point commun; la troisième partie du fil en ligne droite sera tangente à cette arête de rebroussement, et normale à la «ïf* face S; enfin, l'extrémité du fil sera sur cette surface même. Ainsi, eu agiwf '^ fil constamment tendu, on pourra transporterie même point du fil successivement

(* ) Parce que cette arête est la courbe minimum entre denx de ses points, comme dou« ï»^^"^ démontré n*^ 780.