CHAPITRE II. — DE liA COUBBOl® SES SURFACES. . 3l

snr fotas-tés points dé la sUrf^ic^: On voit' donc <{tt'ane «sur&ee quelconque peut être engendréepar les deux mouvements contiiins du point d'un fil tenduqui a'en- "reloppesur les nappes des^centres, de même qu'une courbe plane peut être engendrée par le point d'un fil tendu qui s'enveloppe sur la développée de la eourbe. )» 78S. « Voyons actuellement, 7> continue Mtmçe, « quelques exemples de futilité dont êeis généralités peuvent être dans certains arts. Le premier exemple sera pris daiîs Tarchitecture.

9 Les voûtes construites en pierre de taille sont composées de pièces distmctas, auxqudles on donne le nom générique de voussoirs. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la plus grande attention dans l'exécution : i^ la face qui doit faire parement, et qui; devant être une partie de la surface visible ée la voûte, doit être exécutée a^êc la plus grande. précision : celte fece se nomme douelk; a^ les faCespar lesquetles les vobssoirsconséQutife s'appiiq«ient les uns contre lea^ autres: on ke nolnme généralement yom<5. Les joints exig^it aussi la plus grande exactitude danS' leur exécution; car la pression se transmettant df un voussoir à l'autre perpendiculaîremettt à la surface du jointe il est nécessaire que les deux pierres se tottdient par le pltis grand nombre possible de points^ afin que pour* chaque point de contàct-la pression soit la moindre, et que pour, tous elle approche le plus de FégalitéJ II fautdonc que dans chaque voussoir les joints approchent le plus de la véritable surface dont ils doivent faire pairtie; et pour quet cet objet soit plus . £atctle à remplir, il faut que la silr&ce des joints soit de la nature la plus simple et d^l'èxééuiMin la pins susceptible de précisûuii C-est pour cela que l'oafait<)rdinairement les joimts J^lans; mais les surfaces de toutes les^ voûtes ne; comportent pas œite disposition, etdâns quelques-unes on blesserait trop les^ convenances dont noU9'p<ai4eroiis dans un moment, si l'on ne donnait pas aux joints une. sur&ce eotirbe; Dam ce cas, il £aut choisir parmi toutes les surfaces courbes qui pour* raient d'ailleurs satisfaire aux autres conditions, celles dont la général/ion est la plus simple, et dont l'exécution est plus susceptible d'exactitude. Or^ de toutes les surfeces coufrbesv celles qu'il est plus facile d'exécuter sont celles qui sont engen* drées par le motiveàient d'une ligne droite, et surtout les sunfaces développables; ainsi, lorsqu'il est nécessaire que les joints des voussotrs soîetit des surfaces courbes^ on les compose, autant qu'il est possible, de sur£sM2es développablesw

j> Une des principales conditions auxquelles la forme. des joints des voussoirs doik satisfaire, c'est d'être partout perpendiculaires 4 la surface de la Voûte que ces vonswirs composent. Car, si les deux angles qu'un même joint fait avec la surfece de la voûte étaient sensiblement inégaux, celui de ces angles qui excéderait l'angle droit serait capable d'une plus grande résistance que l'autre; et dans l'action que deux voussoirs consécutifs exercent l'un sur l'autre, l'angle plus petit que l'angle droit serait exposé à éclater, ce qui, au moins, déformerait la voûte, et pourrait 4« édih * 4o

Si4 LiTBi Yin. «* coimicnB bbs uom» et dd wifaces.

même altérer sa solidité^ et diminuer la dnrée de Védifice. Iiors donc que la surface d'un joint doit être courbe, il convient de l'engendrer par ime droite qui soit partout perpendiculaire à la surface de la voûte; et si l'on veut de plus que la surface du joint soit développable, il faut que toutes les normales à la sur£ice de la voûte, qui composent, pour ainsi dire, le joint, soient consécutivement deux k deux dans un même plan* Or nous venons de voir que cette condition ne p6ut être remplie, à moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte; donc, si les surfaces des joints des vousseirs d'une Voûte doivent être développables, il Êiut nécessairement que ces surfaoei rencontrent celle de la voûte dans ses lignes de courbure.

» D'ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d'une voûte soient exé« GUtés, letur division est toujours apparente sur la surfiice; elle y trace des lignes très*sensibles, et ces lignes cibivent être soumises k des lois générales^ et satisfiiire à des convenances particulières, selon la nature de la surface de la voûte. Parmi les lois [générales, les unes sont relatives à la stabilité, les autres à la durée de l'édifice; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d'un même voiu* soir soient rectangulaires entre eux, par la même raison qu'ils doivent être eui* mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de division dei voussoirs doivent être telles, que celles qui divisent la voûte en assises soient toutes perpendiculaires à celles qui divisent une même assise en voussoirs^ Quant aux convenances particulières, il y en a de plusieurs sortes, et notre objet n'est pas ici d'en faire l'énumératicM ; mais il y en a une principale, c'est que les lignes de division des voussoirs qui, comme nous venons de le voir, sont de deux eq)éces, et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairement, doivent aussi porter le caractère de la suriEsice à laquelle elles appartiennent. Or il n'existe pas d'sutre ligne,^sur la surface courbe^ qui puisse remplir en même temps toutes ces conditions, que les deux suites de lignes de courbure, et elles les remplissent complètement, f Ainsi, la division d'une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte, et les joints doivent être des portions de surfaces développables formées par les normales k la surface qui) considérées consécutivement, sont deux à deux dans un même plan ; afin que pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints et celle de la voûte soient toutes rectangulaires.

» Avant la découverte des considérations géométriques sur lesquelles tout et que nous venons de dire est fondé, les artistes avaient un sentiment coijfitf des lois auxquelles elles conduisent, et ordinairement ils avaient coutume de s'y cottformer. Ainsi, par exemple, lorsque la surface de la voûte était de révolution, ewt qu'elle fût en sphéroïde, soit qu'elle f|jit en berceau tournant, ils diviesient s* voussoirs par des méridieDS et par des parallèles, c'est-à^re par les lignes de

OBAran» n.^M hA eovHvraE ms 8URPAeES# 3i5

pourborade la surface de la TO&te. Les jointe qui correspondaient aux méridiens

étaient des plans menés par l'axe de révolution ; ceux qui correspondaient aux

parallèles étaient des surfaces coniques de révolution autour du même axe : et

oes deux espèces de joints -étaient rectangulaires entre eux^ et perpendiculaires à

Uft sar£K)ede la voùte^ Mais^ lorsque les surfaces des voûtes n'avaient pas une gé«

nération aussi simple^ et quand leurs lignes de courbure ne se présentaient pas

d'une manière aussi. marquée, comme dans les voûtes en sphéroïdes allongési et

dans un grand nombre. d'autres, les artistes ne pouvaient plus satisfaire à toutes

les^ oonvenanoes, et ils sacrifiaient, dans chaque cas particulier, celles qui leur

présentaient les difficultés les plus grandes.

A II serait donc convenable que, dans chacune des écoles de Géométrie des-^ cripl^va établies dans l^s déparlements, le professeur s'occupât de la détermination et de la construction des lignes de courbure des'surfaoes employées ordinairement dans ks artsy afin que, dans le besoin, les artistes, qvi ne peuvent pas consacrer beaucoup de temps à de semblables recherches, pussent les consulter avec fruit et profiter de leurs résultats.

724. V Le second exemple que nous rapporterons sera pris dans l'art de la gravure^

n Dans la gravure, les teintes des différentes parties de la sur&ce des objets représentés, sont exprimées par des hachures qne l'on fait d'autant plus fortes ou d'autant plus rapprochées, que la teinte doit être plus obscure. Lorsque la dis-* tance k laquelle la gravure doit être vue est assez grande pour que les traits indi- ▼kUielade la hachure ne soient pas aperçus, le genre de la hachure est à peu près iodif£érei|t; et^ quel que soit le contour de ces traits, l'artiste peut toujours les forcer et les multiplier, de manière à obtenir la teinte qu'il désire et à produire VeiEtt densandé. Mais, et c'est le cas le plus ordinaire, quand la gravure est destinée à étn vue d'assez près pour que les contours des traits de la hachure soient aperçus, la forma de ces contours n'est plus indifférente. Pour chaque objet, et pour chaque partie de la surface d'un objet, il y a dés contours de hachure pins propres que tous^les autres, à donner une idée de la courbure de la surface; ces contours par^ tîoutiers sont toujours au nombre de deux, et quelquefois les graveurs les emploient tous deux à la fois, lorsque, pour forcer plus £icilement leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contours, dont les artistes n'ont encore qu'un sentiment conBis, sont les projections des lignes de oouiimra de la eurface qu'ils veulent exprimer. Comme les surfaces .de la plupart des objets m 3ant pas susceptibles dç définition rigoureuse, leurs lignes de courbure ne sont pas de nature à être déternûnées, ni par le calcul, ni par des constructions graphiques» Mai^ si, dans leur jeune âge, les artistes avaient été exercés à rechercher les lignes de courbure d'un grani sfinbre dt rorfines diflérentes, et tusceptlUes de déftnithms exactes, ils

3l6 LIVRE TIII. ^ GOtntBURE DES LIGNES ET DES SURFACES.

seraient plus sensibles à la forme de ces lignes et à leur position, même pour les objets moins déterminés; ils les saisiraient avec plus de précision, et leurs ouvrages auraient plus d'expression.

» Nous n'insisterons pas sur cet objet, qui ne présente peut-être que le moindre des avantages que les arts et l'industrie retireraient de l'établissement d une école de Géométrie descriptive dans chacune des principales villes de France. »

725. DÉTERMINATION GRAPHIQUE des lignes de courbure. Nous avons déjà cité (n*** 707, 708,...,) plusieurs genres de surfaces pour lesquels il est aisé d'apercevoir immédiatement la forme de ces lignes ; mais, si l'on voulait trouver leurs directions pour un point M donné sur une surface quelconque S, voici la marche qu'il faudrait suivre, en supposant d'abord cette surface convexe. Imaginons, sans le construire, l'ellipsoïde osculateur de S au point M, lequel a déjà été représenté dans la jîgf. i35; puis, rappelons-nous (n® 696) que tout plan normal coupe ces deux surfaces suivant des courbes MD, MD', qui ont le même rayon de courbure p en M, et qu'en outre ce rayon est lié avec les demi-axes MO = c, Oiy = d de

l'ellipse MD', par la relation p '=—'> ou rf = s[cp. Il suit de là que, connaissant p

et c qui a une longueur arbitraire, on peut trouver OD' = d par une moyenne proportionnelle; d'ailleurs cette dernière ligne sera toujours, pour chaque plan normal, un demi-diamètre de l'ellipse A'B'E' dont les axes, inconnus ici de posi* tien et de grandeur, suffiraient évidemment pour retrouver la courbure et la position des sections principales MA et MB de la surface S en M : aussi, par cette raison nous appellerons indicatrice cette ellipse A'B'£' qui est la section faite dans l'ellipsoïde osculateur^ par un plan mené du centre, parallèlement au plan tangent du point M.

726. {Fig. i35 et j37.) Pour construire cette indicatrice (*), on conduira par la normale en M divers plans sécants assez rapprochés les uns des autres, et après avoir construit en vraie grandeur les sections ainsi produites dans S, on cherchera, par la méthode du n® 666, leurs rayons de courbure p, p', p%..., relatifs au point M; puis, sur un plan quelconque et à partir d'un point arbitraire iw, on tracera des rayons vecteurs md, md\ mci",,.., formant entre eux les mêmes angles que comprenaient les plans sécants, et ayant des longueurs égales aux moyennes proportionnelles suivantes,

md=y/cpy md'=\fcp'j md" — s[cfy.,.j

où c désigne une longueur arbitraire, mais constante. Alors, ta courbe qui passera par tous les points rf, rf', rf",..., sera V indicatrice dont nous avons parlé plus hau^i et si, après avoir tracé cette ellipse, on décrit avec le rayon md" un arc de cercle

(*) Cette marche a été employée d'abord par M. Dupin, dans ses Développement de Géamétrii'