CHAPITRE IL — DE LA COURBURE DES SURFACES. 3l

qui la coupe en /, la droite ma menée par le milieu de cet arc et la perpendiculaire mb seront les deux demi-axes de Tindicatrice, lesquels sont aussi ceux de rellîpsoïde osculateur qui a pour troisième axe, suivant la normale, la ligne ac. De là il résulte (n~ 696 et 705) que les rayons de courbure de la surface en M auront pour grandeurs

et la position des sections principales sera aussi connue, car leurs plans devront passer par la normale en M, et faire avec le plan de la section md des angles égaux à dma et rfm6; ou plutôt, si Ton regarde le plan de \^fig. i37 comme parallèle au plan tangent de S en M {fig. i35), les droites ma et mb seront les traces des plans normaux qui contiennent ces sections principales; et ce seront aussi les projections des tangentes aux deux lignes de courbure partant de M, de sorte que le premier élément de chacune de ces lignes sera dirigé suivant ma ou mb.

727. {Fig, i36 et i38.) Lorsque la surface proposée S sera non convexe autour du point assigné M, on imaginera, sans le construire, Thyperboloide osculateur qui a déjà été représenté dans la jîjr. i36, et Ton se rappellera (n** 686) que les rayons de courbure des sections normales faites par le sommet M de cet hyperbdloide, sont liés avec les diamètres de la section parallèle au plan tangent et passant

par le centre O, par la relation p s — 3 puis, comme ces sections normales ont la

même courbure que celles qui sont faites par les mêmes plans dans la surface S, on en déduira le procédé graphique suivant :

Par la normale de S en M, on conduira divers plans sécants assez près les uns des autres, et, après avoir construit en vraie gratideur ces, sections et leurs rayons de courbure p, p' p",..., (n® 666), i^latifs au point M, on cherchera les moyennes proportionnelles suivantes,

d = )/cp^ d'z=:\fcpj d"=\fcy'y..y

où c désigne une ligne arbitraire, mais constante ; puis on portera ces longueurs d, <f , cf,,.., suivant les droites mrf, md!^ ind"',..., tracées sur un plan quelconque, mais formant ëntire elles les mêmes angles que comprenaient les plans normaux dont on s'est servi ; et V indicatrice qui passera par tous les points c/, d\ </^,.. ., ainsi déterminés, sera l'hyperbole que produirait, dans Thyperboloîde osculateur, un plan sécant mené parle centre parallèlement au plan tangent du point M.

728. Les constructions précédentes supposent que tous les rayons p, p', p'',.-^ étaient positifs; car, si l'un des plans normaux à S fournissait une section située au^essus du plan tangent, le rayon de courbure pa de cette section se trouvant négatif {n^686j note) y la moyenne proportionnelle sfcpl serait imaginaire; résultat

3lS LIVRE VUU -• GODBBUIff Vgfi UQJHU BT 9ES iVffkCES. qui s'accorde bien^ il est vraii avec la nature des diamètre» de Thyperbole d, df^ (ty...^ lesquels ne rencontrent plus cette courbe quand ils s*écartent au delà d'une certaine limite^.niais qui exige une modification dans les opérations grapbi* ques. Lors donc qu'on rencontrera des sections normales situées au-dessus du plao tangent de S en M, on ne tiendra compte que de la grandeur absqlue de leurs rayons de courbure p,, p'j, p'^avi ^^ après avoir construit les moyennes proportionnelles

on aura soin de distinguer cette classe de rayons vecteurs, pour réunir leurs extrémités par une hyperbole particulière ibâ* qui sera une nouvelle branche de Yindi* catrice, et que Ton peut regarder comme la section que produirait, dans l'hyperboloïde osculateur, un plan parallèle au plan tangent» mais mené avHtemis du point M, et à une distance égale à c.

729. (Fig. i38.) Cela posé, on construira le premier axe ma de rindicalrice, en le menant par le milieu de l'arc de cercle dj décrit avec un des diamètres md, puis le second axe «^ qui est perpendiculaire au premier, et l'on en conclura lei asymptotes mP et m Q commîmes à ces deux hyperboles conjuguées. Alors, les deux rayons de courbure de k surÊice S au point M (n^ 686) auront pour grandeurs

et les sections principales seront données par deux plans normaux qui formemient avec le plan connu relatif à m</, les angles dma et (6n6; ou.plutot| si l'on regarde le plan de la firj, 1 38 comme parallèle au plan tangent de S en M^ 1^ droitea '"^ et mb seront les traces des plans normaux qui contiennent ces sections principal»» et ce seront aussi les projections des tangentea aux deux lignes de i;ottrburfi qui partent de M.

730. Quant aux plans normaux limites qui séparent les sections convexes ou situées au-dessous du plan tangent, d*avec celles qui se trouvent au-dessus et qne nous appellerons concaves, nous savons (n*^ 694) qu'ils coupent la surÉweS $vi* vaut des courbes dont les rayons de courbure sont infinis au point M^ àoofice^ plans auront pour traces sur le plan tangent les diamètres infinis de Tindicamcet c'est-à-dire les deux asymptotes mP et mQ qui se détermin^ont au moyen du rectangle construit sur les deux axes ma et mb. Il résulte delà que ces asyfnptote* auront chacune un contact du second ordre au moins^ avec les deux section» normal» limites; et, en effet, il est aisé de voir qu'elles sont précisément tes intersectioDsdu plan tangent en M, avec l'hyperboloïde osculateur.

731. D'ailleurs^ comme ce plan tangent doit couper la aur&oe S non oonfet» suivant une courbe, i^ deux brapçbeç pa9a«nt par le poijut M| il ar^vfi* W«» 9f^