CHAPITRE II. — DE LA CÔtJRBURÊ DES SURFACES

le* droites mV et mQ seront tangentes à ces deux branches. En effet, chacune de oe« droites se trouve dans le plan langent, et a deux éléments communs avec S, d'après ce qui a été dit au numéro précédent; donc ces deux éléments appartien* nent à IHntersection de la surface par son plan tangent, courbe dont chaque branche ofirira ainsi un contact du second ordre avec mp ou mQ. En outre, ce sont ces deux branches qui fourniront les limites précises des quatre régions tour à tour convexes et concaves (n^ 694), que présente la surface S autour du point M.

732. I/es considérations précédentes permettent de simplifier la méthode du qo 727 pour une surface S non convexe, en admettant que l'on sait construire les tangentes au point multiple de Tiatersection de cette surface avec son plan tangent ; ou en se bornant à les mener approximativement, hypothèse d'autant plus plau* sible que la direction de ces droites sera ici mieux indiquée^ parce que chaque branche de l'intersection offrira un arc presque rectiligne (n^ 731) dans les envi* rons du point considéré M. Il suffira, en effet, de construire cette intersection sur un plan parallèle au pian tangent de S en M, de lui mener des tangentes mP et mQ au point multiple, lesquelles seront les asymptotes de l'in^tcalrtce, qui n'aura pas besoin d'être tracée; puis, de diviser en deux parties égales les angles aigus et obtus que forment ces asymptotes : alors ces droites bissectrices maetmb seront les traces des plans normaux principaux, et aussi les tangentes aux deux lignes de courbure partant de M. Ensuite, il restera à construire les sections faites dans la surface S par chacun de ces plans principaux, et à trouver (n^ 666) les rayons de courbure de ces sections qui seront ceux de la surface elle-même.

Cette marche s'emploierait avec avantage pour un point quelconque d'un hypersboloîde ou paraboloïde gauche, puisque la section du plan tangent serait ici com'^ posée de deux droites qui tiendraient lieu des tangentes qu'il fallait mener €i<dessus approximativement. Pour une sur&ce gauche quelconque (J?^. i43), une de ces tangentes serait la génératrice rectiligne GPM, et la seconde branche Ma de l'intersection s'obtiendrait par la marche générale du n^583.

733. Au contraire, si l'on voulait construire rigoureusement les tangentes au point multiple de l'intersection d'une surface non convexe quelconque, avec son plan tangent, il n'y aurait qu'à déterminer, comme au n® 727, les directions et les rayons de courbure des deux sections principales pour le point de contact assigné^ puis, en déduire, par le n^730, les asymptotes de Findicatrice, lesquelles seraieut les tangentes cherchées.

734* Afflicatioit Àtj roRK. {Fig. 45.) Ce tore, représenté dans l'épure 45, a été coupé par son plan tangent M'T'f relatif au point (M, M'), suivant une courbe à deux branches MHRE... et M Are... que nous avons construite au n^ 268. Pour trouver les tangentes de ces branches en M, nous observerons qu'ici^ où la surface est de révolution» le méridien A'M'B" est à la fois une première ligne de cowbure

3aO UVRE VIII. — COURBURE DES LIGNES ET DES SURFACES,

et une section principale (n® 708) dont le rayon de courbure est R = If (a; Vmtrt section principale serait située dans le plan wM'Ç, perpendiculaire au inéridi€& précédent, et elle aurait pour rayon de courbure R' = M'Ç, c'est-à-dire la portion de la normale comprise entre le point M' et Taxe O'V de révolution (n^'TOS). Pour en déduire Thyperboloïde osculateur au point (M, M'), il femt {n^698) donner à Taxe réel de cette surface, dirigé suivant la normale (M'co, MB), une longueur arbitraire c, que nous choisirons ici égale précisément au rayon M^td, parce qu'il en résultera pour le second axe réel, dirigé suivant (wdt, BC), cette valeur très-simple a = ^c.R = M' w ; c'est-à-dire que Thyperboloïde sera de révolution, .et aura pour cercle de gorge le méridien donné (A'JVTB'a, AC). Quant à l'aie imaginaire, qui sera perpendiculaire à ce méridien et passera par son centre (ca,B), sa longueur, déterminée par b = \/c7r?, sera la droite M' S, moyenne proportioûnelle entre M' eu et M'Ç. Maintenant que Thyperboloïde osculateur est compIét^ ment déterminé, nous sommes dispensés de construire par points rindicatrice, puisque cette courbe n*est autre chose (n® 727) que la section faite dans ^hype^ boloîde par le plan a&)£ parallèle au plan tangent M' T'T; ce sera donc une hype^ bole ayant pour axe réel ua, et ponr axe imaginaire une droite égale à M'S et élevée par le centre (u, B) perpeDdiculairemenl; au plan vertical. Les asymptotes de cette indicatrice seraient alors faciles à construire; mais comme il faudrait oisuite les projeter sur le plan tangent M^TT, cela revient évidemment à prendre Wâ^ = (oa, puis à élever du point (^ une perpendiculaire au plan vertical, qui ait pour longueur WS ; et Thypoténuse du triangle rectangle ainsi formé sera la projection de Tasyroptote sur le plan tangent, et ce sera aussi (n^ 751) la tangente même de la section que forme ce plan dans le tore. Enfin, pour obtenir cette tangente sur le plan horizontal, il faudra projeter le coté M'c^ de ce triangle suivant M J, puis élever une perpendiculaire ^X = M'ê, et la droite XM sera la tangente de la branche M Are. La tangente X^'M de l'autre branche MHR£ s'obtiendrait par le moyen de la seconde asymptote, mais cela se réduit à prendre ^X"" = (^X; ainsi, quant à la méthode pratique, on voit que la construction de ces deux tangentes n*exigera qu'un très-petit nombre d'opérations fort simples.

755. Revenons à une surface générale S. Après avoir déterminé, parles méthodes précédentes, les tangentes ou les premiers éléments des deux lignes u^ courbure relatives à uii point quelconque M assigné sur cette surface, il àudrait, pour obtenir le cours entier de ces lignes, répéter des opérations semblables sur un point Ma très-voisin de M, et choisi sur Tune des deux tangentes d^à trouTées; puis, agir de même pour un point M, voisin de M^, et placé sur l'une des deux directions que comportent les lignes de courbure relatives à ce dernier point ;^ ainsi de proche en proche. Mais la complication et les incertitudes d'une pareni marche font assez voir que la détermination complète des lignes de courbure est