CHAPITRE II. — DE LA COURBUBE DES SURFACES. 3a I

un problème qui est généralement insoluble par des opérations purement graphiqries; c'est donc à l'analyse qu'il faudra recourir pour se procurer des données certaines sur cette matière^ quand la surface ne tombera pas dans un des genres examinés aux n^ 707... 711 ; et nous allons exposer les beaux résultats auxquels Afonge est paprvenu dans l'exemple d'un ellipsoïde à trois axes inégaux {*).

736. {Fiy. i44*) Soient a, 6, c les trois demi-axes de l'ellipsoïde donné, entre lesquels nous supposerons les relations a > 6 > c. Adoptons, pour plan horizontal de projection, un plan parallèle aux deux axes les plus grands, et choisissons le plan Tertical parallèle à l'àxe maximum et à l'axe minimum ; alors, si (O, O') est le centre de la surface, et que l'on décrive sur les demi*axes OA = a, OB = 6, une ellipse (ABD£, A'iy), ce sera le contour apparent de l'ellipsoïde sur le plan horizontal; tandis que le contour apparent relatif au plan vertical sera l'ellipse ( A'CD'F', AD) décrite avec les demi-axes (yAr= a, C C = c. La troisième ellipse principale^ qui a pour demi-axes b et c, se trouve projetée sur BE et C'F' ; et nous l'avons rabattue ici suivant EC. Quant aux excentricités de ces trois ellipses, on les trouvera graphiquement par les relations connues

ainsi il deviendra facile de construire, par le secours de quatrièmes proportionuelles, les deux distances

sur lesquelles, comme demi-axes, on décrira une ellipse auxiliaire aeS, puis une hjrperbole auxiliaire a^. Ensuite, on portera sur les axes delà projection verticale, deux distances

aviec lesquelles, comme demi-axes, on décrira une nouvelle ellipse auxiliaire XXZ' qm se trouvera toujours en -dehors de rellipsoîde, puisque ses deux axes sont évidemment plus grands que a et c.

737. Cela posé, l'analyse apprend que les lignes de courbure de la première espète sont projetées horizontalement suivant des hyperboles TU, W, KR,..., et ▼erticalement suivant des ellipses T'U', L'S', K'R',..., qui se construisent avec les données précédentes^ comme il suit. Après avoir choisi sur OA un point T arbitraire, mais situé entre O et a, on trace les deux coordonnées Ta et zO de l'ellipse auxiliaire aê; puis, avec l'abscisse OT comme axe réel, et avec l'ordonnée OQ comme axe imaginaire, on décrit une hyperbole TU . Ensuite, on projette le point U

où cette hyperbole va couper le contour apparent ABD, en U\ à partir duquel on

(*) Foyet le chap. XVI de noire Analyse appliquée h la géométrie des trois dimensions. 4* édit. 4»

3asi LIVRE Vin. ^ COUBBURK SES UGNBS ET DES SUEFACES.

trace les deux coordonnées V'n et ni; de rellipsc auxiliaire X'Z'; ppia, wec l'abscisse CU' et l'ordonnée (XÇ comme demi-axes, on décrit une ellipse ÇT'U' qui est la projection verticale de la ligne de courbure déjà projetée horiaontalemeut suivant TU. On sent bien que cette ligne de courbure est gauche, txmsfennée, ctqu'elle offre des parties symétriques au-dessus et au-dessous, en avant et ep arrière dis plans principaux de l'ellipsoïde^ ce qui fait que ses deux projectioxis n'occupent qu'une portion limitée d'hyperbole ou d'ellipse.

738. (Fig. 144.) Quant aux lignes de courbure de la seconde eapèooi elles h projettent horizontalement et verticalement sur des ellipses (f MV, y'M'V), (>}NI, )7'N'r),..., qui se construisent de la manière suivante. Après aVoîf pris on point arbitraire V entre a et A, on trace les deux coordonnées Vcf et dH}^ 4e ïhjferbole auxiliaire ay; puis, sur les droites OV et O^ comme demkiXfes^ on décrit uae ellipse 4>Vf . Ensuite, on projette le sommet f ou tj; de cette courbe^ sur l!allipse principale rabattue suivant EC, et l'on relève le point f en ^ sur le plan vertical; alors, en traçant les deux coordonnées ç> et fiW de l'ellipse auxiliaire X'Z', on obtient les deux demi-axes a W et Cf' de l'ellipse cherchée f' V'W% dont une partie seulement reçoit la projection verticale de la ligne de courbure qui est aussi fermée et gauche.

759. Etudions maintenant les variations de forme que subissent les lignes^ courbure des deux espèces, lorsque les points Tel V s'éloignent ou se rapprochent de a. Quand le point T est en O, et le point V en A, la projection de la première ligne de courbure se réduit évidemment à la droite BOE, et la seconde devient l'ellipse ABD, ce qui montre que les deux ellipses principales EC et ABDE sont elles-mêmes des lignes de courbure ; en effet, les normales de l'ellipsoïde menées par tous les points de l'une ou de l'autre de ces courbes sont situées dans leur plan, et ne peuvent manquer de se couper consécutivement. Lorsque les points T et V se rapprochent de a, l'hyperbole TU et Telhpse YMy se resserrent déplus en plus, et quand ces points sont arrivés en a, la seconde se rçduit évidemment à la portion de droite aw, tandis que la première est remplacée par les portions reclilignes «A et wD; de sorte qu ici les deux lignes de courbure viennent à coïncider, et leur ensemble fournit l'ellipse principale (AD, A' CD'). On voit donc que le point a et son homologue w déterminent, sur l'ellipsoïde, quatre points singuliers (a, «')» (a, a''), (w, «'), («, «"), pour lesquelles les lignes de courbure des deux espèces viennent se confondre, comme le montre aussi la projection verticale où les ellipses çrU'et fV'W s'ouvrent de plus en plus, l'une dans le sens horizontal, l'autre dans le sens vertical; ou plutôt, dans ces quatre points, la direction des lignes de courbure devient indéterminée, comme le prouve l'analyse, et la courbure de la surface est uniforme autour de chacun d'eux ; de sorte que ce sont quatre omiito, tels que nous les avons définis au n^692.