CHAPITRE n. — DB LA COUBBUBfe DES SURFACES. 3a

740. L'anàljse prouve encore que, sur le plan vertical, toutes les ellipses des deux séries se trouvent inscrites dans le losange X'Z'X'^Z", qui touche l'ellipse principale A'C'iyF' précisément aux quatr^ombilics. D'ailleurs il est intéressant de savoir que les lignes de courbure de Tellipsoïde sont précisément les intersections de cette surface avec les divers hyperboloîdes à une nappe et à deux nappes, qui auraient les mêmes foyers que cet ellipsoïde. Cest ce qui résulte du beau théorème dû à M. Binet, d'après lequel les lignes de courbure d'une surface du second degré sont les intersections de cette surface avec les surfaces du second degré homofocales de la première, mais d'un genre différent ; et ces trois séries de surfaces se coupent partout à angles droits. M. jDupin a démontré aussi que, quand trois séries de surlaces quelconques se coupent orthogonalement, leurs intersections mutuelles sont respectivement leurs lignes de courbure.

741. Pour montrer une belle application de la théorie des lignes de courbure dans les surfaces du second degré ^ nous allons citer ce que Monge a écrit sur ce sujet :

« S*il était question de voûter un espace circonscrit en projection horizontale par une ellipse, on ne pourrait pas donner à la voûte une surface plus convenable que celle de la moitié d'un ellipsoïde dont une des ellipses principales coïnciderait avec l'ellipse de la naissance; et en supposant que cette voûte dût être exécutée en pierres de taille, 11 faudrait que la division en voussoirs fût opérée au moyen des ligties de courbure dont nous avons donné la construction, et que les joints fussent les siirfaces développables normales à la voûte. Les lignes de division en voussoirs traceraient sur la surface des compartiments rectangulaires susceptibles de décoration ; et ces compartiments eux-mêmes n'auraient rien de fantastique, puisqu'ils ne seraient qu'une suite nécessaire de la première donnée , qui est une ellipse j maïs la destination de cet emplacement pourrait influer sur le choix de celui des trois axes quSI faudrait placer verticalement.

» tl n'y aurait aucune raison pour faire Taxe vertical égal à Tun des deux axes horizontaux ; ainsi, les trois axes seraient inégaux. Dans celte hypothèse, Taxe vertical pourrait être plus grand que les deux autres, et alors la voûte serait surmontée ; il pourrait être plus petit, et la voûte serait surbaissée; enfin, il pourrait être compris entre les deux autres, et la voûte serait moyenne. La voûte surmontée aurait en général plus de hardiesse et plus de dignité; et si la naissance était ellemême à une grande hauteur, quelle' que fût d'ailleurs la destination de remplacement, ce serait la voûte surmontée qu'il faudrait employer, parce que sa grande élévation, faisant paraître ses diikiensions verticales plus petites qu'elles ne seraient réellement, écraserait trop une voûte d'une autre espèce- La voûte surbaissée, en diminuant le volume d'air compris dans l'emplacement, serait plus favorable à la V6ix é'utk orateur. Si remplacement devait être éclairé par deux lustres suspendus