CHAPITRE PREMIER

tHÉOBAma DITERS.

Nous réunissons ici diverses propositions relatives à des théories antérieures > mai» qui n*aaraieot pas eu alors (Inapplication prochaine , tandis qu*elles nous deviendront utiles dans la PerspectÎTe , les Ombres et la Stéréotomie. ___]

745. Lorsque un eyUnàre pénètre dans une sphère par une courbe Pt^kift^ iâ seconde branche de l'intersection est également plakb ; d*aîlleurs cette courbe de sortie, qui est un cercle égal à la courbe d'entrée, se trouve perpendiculaire au plan qui serait mené à angle droit sur la courbe d*entrée et parallèlement aux génératrices du cylindre.

{Fig. i45.) Conduisons par le centre de la sphère un plan de projection qui soit parallèle aux génératrices du cylindre et perpendiculaire à la courbe d'entrée ! alors cette couil>e, qui est nécessairement un cercle, s'y trouvera représentée par la corde AB, égale à son diamètre» et les génératrices GA, FB sortîrotll delà sphère par les points A' et B', évidemment situés sur le même grand cerele que A et B; tandis qu'une arête quelconque DM sortira de' cette surface par tm point dont ia projection W tombera sur la droits h!V. En effet, toutes les cordw pari'lèles AA', BB', MM',.»., comprises dans la sphère, seraient divisées en deux parti» égales par le plan OR, mené du centre perpendiculairement à leur direcHon commune : donc les ordonnées EA, PM, IB sont respectivement égales à EA', WP, Vf} et dès lors il est certain que les trois points A', M', B' se trouvent en ligne iwte, puisque A, M, B remplissent déjà cette condition. D'on il résidte que la cwirf» de sortie est projetée sur la droite A'M'B', et qu'amsî elle estpkme; d*ai1leflrs «"® satisfait bien aux autres conditions de Fénoncé, d'après le choix du plaa de pro* jection employé ici, et attendu que le diamètre A'B' est éTidemment égal au d^^ mètre AB«

CHAPITltt i. '^ THÉOUàMU JDIYERS. 9»9

0)Merv«>nfr .c|ue ai la iDylindro pénétrait àmA là «filière pft? un grand derote^. tel ^ue aObf Utcourbe de «ortie aérait l'autre grand cercle a^Ob'} et pour conetruive plus aisément cette derrière oourbe) qui se rencontrera dans l'épure des Ombrm €i'un€ niche, il su£&ra d'employer un plan de projection qui soit parallèle aux Y*ayons de lumière et perpendiculaire à la courbe d'entrée, puisque^ sur un tel plan^ la courbe de sortie se projettera suivant Une droite.

746. Dans l'intersection d'un cône avec une sphère, si la courbe d'entrée est PLAirat ia courbe de sortie lest pareillemerd.

[Fig* i/|6.) Adoptons pour le plan de la figure celui qui, passant par le centre de la sphère et le sommet du côtie, se trouve en même temps perpendiculaire à la courbe d'entrée, et dé8ignons4e smie \e nom de plan horizontal. La courbe <l'entrée) qui est nécessairement un cercle, sera projetée suivant utie corde AB de la spbère, et si S est le sônliiiet situé dans notre plan horizontal» les deux arêtes SA, SB iront évidenment sortir de la sphère par les points a, b; mais^ en outre^ je dis que la droite ab est la projection totale de la courbe de sortiCi En effet, si, par le point de la stirface conique qui est projeté en m, on mène un plan vertical A'mB', parallèle k AB, il coupera le c6ne suivant un cercle du diamètre A^B', ^ue nous rabattrons ici suivant A'm'B'; et l'ordonnée mfm du cône étant moyenne proportionnelle entre les deux parties de ce diamètre, nous aurons

nim'= Afm.mh\ ^ Mais les deux triangles mAfa et mB'6 sont semblables, puisque l'angle A^ égale Tangle SAB, qui a pour mesure le même arc que l'angle abB; donc ces triangles donneront l'égalité suivante :

A'm.mBfss:am.màf d'où mm'ssamknwi.

Cette dernière relation prouve que Vwdannèe rabattue «aivsiot fnn¥ appartint attsti au cerde vetdcâl décrit sur ab comme diamètre} ef puisqâe ce nouveau cercle eut évidemment sur la sphère proposée, nous eti eôdclurous que le sommet de l'ordonnée mm', ou le point du cône qui est projeté en fn, se trouve en ménJe temps sut la sphère. Comme on en dirait autant de tout autre point An côue projeté en » sur ab, il est csertain que le plan vertical ab coupe le cône et la iptèt^ suivant un cercle unique, lequel est la seconde branche de leur inferâectiôU OU la nMUrbe de sortie; ce qui démontre le théorème annoncé.

747. Observons que le cercle vertical ab est précisément ce qu'on appelle la section anti^paraUèk du cône SAB à baôe circulaire; car la première condition que doit remplir cette secrion, c'est d'être perpendiculaire au plan pHndpnl dû cône, c^est-ihdire à celui qui, passant par le sommet S et le centre G de la base circulaire AB, se trouve en outre perpendiculaire à cette base i or ce plau cotacide évidemment ayec celui de notre épure, lequel contient les points S, O, et le rayott 0C#

3a8 LIVHB ÎX. — ADDinONS.

Ensuite, la section anti-parallèle doit former, sur le plan [HÎncipal, un tnaagleSa6, semblable et non parallèle à SAB; condition qui eA encore rempliey ppisque nous Tenons d^observer que les angles SAB et S 6a avaient la ndéme mesure.

748. Lorsque deux cylindres du second degré se coupent suivant une première courbe vtkJirB, la courbe de sortie est aussi PLAifB.

(jFV^. 147) Supposons que Trilipse EMM'FM^K soit la courbe d'entrée, commune aux deux cylindres (les mêmes raisonnements seront applicables 4 une hyperbole ou à une parabole); alors, en menant divws plans qui soient parallèles aux génératrices des deux cylindres à la fois^ ils traceront dans l'ellipse des cordes MNy M'N',..., parallèles entre elles, et chacun de ces plans coupera d'ailleurs les deux cylindres suivant quatre droites. Celles qui répondront au plan sécant MN, savoir MA et NB, Ma et Vb, formeront, par leurs intersections, un parallâogramme MnNm, dont les deux sommets m et n appartiendront éyiiriemment k ia courbe de sortie ; de même, cette courbe passera par les points wf et n' où se coupent les quatre arêtes M'AS «t ^'^^ ^^^ ^^ ^^y c(mtenues dans le plan sécant H'N'; et ainsi des autres. Or toutes les diagonales mn, m' n'y... y sont évidemment parailèles; elles passeront d'ailleurs par les milieux des cordes MN, M'N,..,, et, par suite ; elles rencontreront toutes le dmmètre £F conjugué avec c^es cordes. Donc ces diagonales formeront, en s'appuyant sur la droite ËF^ une surface néœsairement plane, qui conti^^lra toute la courbe de sortie mmfFn'n^ ainsi, cette dernière satisfait bien à l'énoncé du théorème.

749. On voit d'ailleurs que la courbe mm!'Evln sera de même espèce que la courbe d'entrée ; car, pour des abscisses communes OP, OF,...^ les ordonnées MP et m P, WV et m'P', . . ., seront évidemment proportionnelles ; de sorte que les deux branches de l'intersection seront ici deux ellipses ayant un diamètre commun £F. Il est clair aussi qu'aux extrémités de ce diamètre, les tangentes ET et EV de&deox courbes, ainsi que les arêtes des deux cylindres, se trouveront toutes parallèles aux plans sécants employés ci-dessus ; par conséquent, les cylindres proposés auront deux plans tangents communs et parallèles.

750. Lorsque deux surfaces du second degré ont vv ax£ coioiuzf , en grandeur et en position^ elles ne peuvent se couper que suivant vevx courbes plakes, qui jxisseï^ l'une et l'autre par l'axe commun.

{tig. i48. ) D'après l'hypotbèse admise, les deux surfaces aiiroqt le même centre, et en faisant passer par ce point notre plan horizontal de projection, que nous choisirons d'ailleurs perpendiculaire à l'axe commun (O, O'C), il coupera les deux surfaces données suivant deux courbes du second degré et concentriques AB^^ etabde. Or, si ces dernières se rencontrent en deux points G et H, .il y en aura nécessairement deux autres, I et R, diamétralement opposés aux premiers 9 et qui seront encore communs aux deux courbes. Alors le plan vertical GI coupera le^

CHAMTMÎ I.—THéORÈltES DIVERS. Sag

8ttrfe<^es proposées sciivant daix courbes qui coîneidercml complètement, puisqu'elles auront les mêmes demi-axes OG et O'C^ ; donc cette section commune sera une des branches de l'intersection totale des deux surfaces, et l'autre branche sera la section aussi commune, faite par le plan vertical HK«

Ces raisonnements sont applicables à toutes les surfaces du second degré qui ont un centre, qu'elles soient ou non de même espèce, pourvu que l'axe commun soit en même temps réeto^ imaginaire dans les deux sur&ces à la fois.

754, Si la première n'avait pas de centre, son axe unique serait infini ; et, par conséquent, la seconde devrait, pour satisfaire à l'énoncé du théorème, être aussi un parabololde ayant le même sommet. Alors on couperait ces deux paraboloïdes par un plan perpendiculaire à l'axe commun , et ces deux sections, qui auraient évidemment le même centre, se rencontreraient en quatre points diamétralement opposés, tels que G et I, H et R dans la figure précédente; d'où l'on conclurait que le plan conduit par la droite GI ou HK, et par l'axe comimun , coupe les paraboloïdes suivant deux paraboles qui, ayant même axe, même sommet et un point commun G ou H, se confondront nécessairement

755. On peut généraliser le théorème du n^ 750, en l'appliquant à deux surfaces du second degré qui ont deux plans tangents communs et parallèles. En effet, la

<k*oite qui joindra les points de contact de ces plans sera un diamètre commun aux deux surfaces ; le plan diamétral conjugué avec ce diamètre, devant être parallèle aux plans tangents donnés, se trouvera le même pour la première et la seconde surface, et il coupera celles-ci suivant deux courbes concentriques, telles que ABDË et abde : de sorte que le plan mené par GI ou HK , el par le diamètre commun, produira dans les surfaces proposées deux sections qui devront encore coïncider, attendu qu^elles aiu*ont deux diamètres conjugués communs en direction et en longueur; donc ces surfaces se couperont suivant deux courbes planes.

735. (JRgr. 149.) Un cas particulier de ce théorème se présente dans la rencontre de deux berceaux ou cylindres, qui ont le même plan de naissance et la même montée. En effet, si les deux ellipses AMNB et amnby dont les axes verticaux sont égaux, représentent les bases de ces cylindres qui sont ici rabattues autour des axes ABet ab situés dans le plan horizontal de la naissance, on voit d'abord que les quatre génératrices ÂG, BH, a G, 6K, se rencontrent en formant le parallélogramme GHIR. Ensuite, si l'on coupe les deux cylindres par un même plan horizontal, on obtiendra quatre arêtes partant des points M, N, m, n, et qui se rencontreront nécessairement en des points projetés sur M', N^ M'', N""; or je dis que ces projections tomberont précisément sur les diagonales du rectangle GHIK. En effet, les deux ordonnées pm et PM étant égales, on sait que les abscisses ap et AP sont entre elles comme les deux axes ab et AB, cç qui donne la proportion

Ga;aM'::GR:KI;

4» édit. 4î»

33o uvss nu "^ kBBmom%

d'où Vôtk conclut que le point M' est en ligne drpijte aveo 6 et I* i)n.,iNi«ttfer« semblablement que ^^ tombe sur la même diagonale^ tandia queN' et M"; wni lur la droite HK : ainsi, l'intersection totale des cylindres proposés se composera des deux ellipses situées dans les plans verticaux GI et HK.. Tous œs raiaonneme&ti s'appliqueraient identiquement au cas où les génératrices des deux «ylip^xesse rencontreraient obliquement, avec le soin de prendre pour base du premier uns section faite par un plan vertical parallèle à aGH) et pour baae da Moond uns section verticale parallèle à ÂGK.

754. Rbmaaqub. Lorsque deux surfaces quéleonquêi 6 et S' se aoiielmilen ne point, et qu'en outre elles se coupent suivant une eourbt à dieun branohesqiii prissent par le point considéré, il n'est plus possible de trouver les: tangenfies de ces branches au point multiple, par la méthode des pkna fan^ts^ puisque ceUM coïncident. Mais, si Ton substitue aux surfaces S et S^ deux surfoces du seoond d^ré 2 et l' qui soient oscultarioH des pk^emières, il est évident que rinttrseciioo de 2 avec l' aura les mêmes tangentes que l'intersection dé S avec S^. Or^ tsùmm dans chaque surface 2 ou X^ il y a un axe c ou e' qui est arbitraire en lon^éur (n^696), quoique toujours dirigé suivant la normale au point ôonsidiîré, si roa prend cet axe égal de part et d'autre, il arrivera que les surftices S et 2'se oeupe^ ront suivant deux courbes planes (n^ 750), dont les projections mrun planpef^ pendictttaire à la normale se réduiront à deux droites faciles à constrofite; alors cet droites seront évidemment les tangentes d^ deux branches de TinterseotioB de S avec S', pour le point multiple en question. Cette méthode ingénieuse a été donnée par M. Th. Olivier^ dans un Mémoire inséré au !ii* cahier du Âwmal de tÉcok Polytechnique; et l'auteur l'a appliquée au conoïdô de ùt }>oéted'aréÈes en tôur mtde, dont nous avons trouvé les tangentes par un autre moyen (n^646).

755. DES TANGENTES C0N5UGUÊES ou récipf^ques. (%. i6o.) Lonqn'm cône VMKN est circonscrit à une surface du second degré, t/nfe arête ^uêtconqueVU de ce cène et la tangente MT, menée à la Courbe de Contact MKN par le pïed d« cette arête, sont toujours respectivement parallèles à" deux diamètres conjugaés de la section faite, dans la surface, par un plan parallèle au plan tangent TMT.

Pour démontrer ce théorème (*), adoptons comme plan de la figure le plan dra* métrai qui passe par Tarôte VM et le diamètre VO, et qui coupera la surface stti- . vant une courbe NXMY, à laquelle VM sera tangente. D'ailleurs, si noû$ menons le plan diamétral conjugué de VO, la section de ce plan avec la surface sera nne courbe E2Y, parallèle et semblable (n«554) à NKM, et, par suite, les tangent» YT' et MT se trouveront parallèles; donc, le conjugué de OY sera tme droite Œ, ■ ' ■ * ■■ .. " > , ■ ■ ■ "*

(*) n est dû à M. Dopm; m^dd nous lé démoatrons ici ifunê manière différente, sans passer pâf l'intermédiaire d'un cylindre.

GHAPITM I. ^ TBtiORÈMBS DIVERS. 33 1

parallèleà MT. Cela posé, les trois diamètres OX, OY, OZ étant conjugués entre eux, il en résulte que le plan XOTde la figure actuelle divise en deux parties égales toutes les cordes pat^l)èl«9 à OZ? donc il en sera de même du diamètre RY% tiré paralfèlement à MV; et ce diamètre étant ainsi le conjugué de OZ dans la section RZY'^ qui se trouve bien parallèle au plan tangent VMT, Ténoncé du théorème en question est Justifié» puisque OY' et OZ sont respectivement parallèles h rareté VM et à la tangente MT.

756. Ces deux tangente^ de la surface ont été aussi nommées réciproques, parce que $i l'on plaçait sur MT le sommet d'un noitves^u cône circonscrit à l'ellipsoïde, la co^rbe de contact de ce cône aurait pour tangente la droite MV. En effet, la section faite dans la surface proposée par un plan parallèle au plan tangent en M serait encore la courbe RZY', dont le diamètre OZ, parallèle à MT, a pour conjugué QY'^ ainsi la tangente à la nouvelle courbe de contact, qui doit, par le théc^nème précédent, se trouver parallèle à OY', ne pourrait être que MV, qui remptil déjà cette condition.

757. (Fîjr, x5i.) Cette réciprocité et le théorème du n** 755, sur lequel elle est fondée, s'étendront facilement à un cône circonscrit à une surface quelconque S. Car, soient ÂMB la courbe de contact de ces deux surfaces, MT une des tangentes et YM Taréte du cône qui aboutit au point de contact ; cette arête peut être re«> 0ard^ (n^l82) comme l'intersection de deux plans tangents infiniment voisins^ menés du sommet Va la surface, et dont les points de contact p et ^ avec S se trouveront sur la courbe AMB. Blaintenant, imaginons l'ellipsoïde ou l'hyperbo* loide 2; qui serait osculaieur de S en M. Dans les environs de ce point, les surfaces S et 2 auront deux plans tangents consécutifs de communs; donc les points p et q appartiendront aussi à la courbe de contact A' MB' du cône qui, ayant son sommet en V| serait circonscrit à 2, et, par ^uite, cette dernière courbe aura encore pour tangente MT. Or, dans la surface 2, on sait (n''755) quelle relation existe entre MV et MT : donc aussi, pour la sur&ce quelconque S, barète du cône circonscrit et ta tangente à la courbe de contact sont respectivement parallèles à deux diamètres conr jugués de la section faite parallèlement au plan langent y dam la surface du second degré oscutalrice de S] et ces deux tangentes offrent pareillement la réciprocité énoncée au n« 756.

758. Ce théorème, qui nous sera utile dans là perspective d'un tore et d'un • piédouche, subsiste évidemment pour un cylindre circonscrit à la surface quelconque S, puisqu'on peut supposer le sommet V placé à l'infini sur MV; et il serait facile de l'étendre, par des considérations semblables, à une surface développable q[UfilQQSquç qui s« trouverait circonscrite à la surface donnée S.

332 XIVRE IX. — ADDITIONS.