CHAPITRE 11/^ METHODE tfEB PLANS COTÉS

iât^viécliaires puissent être regardés comme des droites* Mais, presque touJDttrs, les courbes sont liées à des surfaces que nous apprendrons bientôt à représenter; c^est pourquoi nous ne nous y arrêterons pas davantage ici.

770. [PL 6^,Jig. a.) Un ï^law, lorsque c'est une grandeur réeDement existante, et qu'il est, par conséquent, limilé de tonîes prttts, se représente par la projection de son contour dont chaque angle doit avoir sa cote ; et Ton y ajoute un certain nombre de sections de niveau qui sont des droites parallèles à sa trace horizontale. Ces sections, que l'on choisit équidistantes et éloignées, par exemple de i mètre dans le sens vertical y doivent être marquées à leurs deux extrémités d'une cote commime; ptais, si Fôn trace une perpendiculaire à ces horizontales, ce sera évidemment la projection de la Ugne de plus grande pente du plan proposé, et en cotant les points où elle est rencontrée par les diverses horizontales, elle deviendra ce qu'on appelle V échelle depenie du plan en question, laguelle est ordinairement indiquée par un trait double^ Ce mode de représentation équivaut à regarder, ainsi qu'^q le fait dans la géométrie descriptive, un plan comme engendré pat une de ses horiaon^ taies qui glisserait, parallèlement à elle-même^ sur la ligne de plus grande pente de ce plan.

77i. {Fig. 2 bis.) Lorsqu'un plan est illimité et n'existe pas réellement, on le représenté seulement par une de ses horizontales cotée, avec son échelle de pente graduée : on assigne ainsi la génératrice et la directrice de uette surface, Ce qui suffit pour la déterminer complètement Souvent même on se contente de marquât réehetle de pente graduée; parce que de là on peut déduire autant d'horizontales cotées que Ton veut, puisqu'elles sont toujours perpendiculaires à la direction de l'échelle.

772. Lorsqu'im plan est horizontal, son échelle de pente n^exisle plus, mais tous les angles de son contour portent la même cote; ou bien, si ce plan est indéfini, on le désigne par le plan horizontal à la cote n. Si le plan donné est vertical, on le repr^ente simplement par sa trafee horizontale.

773. {Fig. a bis*) Déterminer le plan qui passe par trois points donnés (9^,4)» (i4'°) et (17°^). On joindra par une droite le premier et le dernier de ces points, et, an moyen d'une proportion analogue k celle employée dans le n^ 762, on cherchera sur cette droite un point qui ait pour cote i4™ -' alors la droite qui réunira ce dernier point avec le second des points donnés, sera évidemment une horizontale du plan demandé; et une parallèle, menée par le point (17°^)» sera une seconde horizontale de ce plan, dont l'échelle de pente deviendra dès lors trèsfacile à marquer et à graduer.

La même marche s'appliquerait évidemment au cas où le plan demandé devtftit paiier par un point et par une droite donnés; et si cette droite était déjà pourvue de iofi échelle de pent6> la eoluiion serait encore plus iimple»

774. {PL 6^j fig. 3.) Par une droite donnée, conduire un plan dont la pente soit -.

On doit connaître au moins les cotes de deux points de cette droite, qui sont ici lo™ et la", 5 : alors, en regardant le point supérieur (lo") comme le sommet d un

cône droit dont les génératrices auraient Tinclinaison - (n*' 765), il suffira évidemment de mener à ce cône un plan tangent qui passe par le second point. Or, si l'on décrit un cercle qui ait pour centre la projection du point (lo™), et pour rayon une longueur prise sur l'échelle horizontale du dessin, et égale à n fois la dififérence 2™, 5 des cotes des points donnés, ce cercle sera évidemment la trace du cône en question sur le plan horizontal qui passe par le point inférieur (i a", 5). Donc, en menant par ce dernier point deux tangentes à ce cercle, on obtiendra les traces horizontales de deux plans qui satisferont au problème; et leurs échelles de pente s'en déduiront aisément, puisqite Ton connaîtra leurs directions et deux points cotés de chacune d'elles. Il est d'ailleurs facile de voir que le problème n'admettra qu'une solution ou deviendra impossible, selon que la pente assignée sera égale à celle de la droite donnée, ou moindre que cette dernière.

775. Lorsque la droite définie par les deux points cotés se trouvera très-peu inclinée, la méthode précédente conduirait à tracer un cercle très-petit, et par là peu commode à employer. Dans ce cas, on imaginera un plan horizontal inférieur aux deux points, et coté en nombre entier ; puis, on décrira sur ce plan deux cercles dont les centres soient les projections des deux points proposés, et dont les rayons soient n fois la hauteur de chacun de ces points au-dessus de ce plan horizontal. On aura ainsi les bases de deux cônes dont la pente sera -y et il restera à mener une tangente commune à ces deux cercles.

776. Si la droite donnée était horizontale, on aurait tout de suite la projection de l'échelle de pente du plan cherché, en tirant une perpendiculaire à la droite

proposée; puis, comme l'inclinaison - est assignée, il n'y aurait qu'à porter sur

cette échelle, à partir de la droite proposée, une longueur de n mètres mesurée sur l'échelle horizontale du dessin, et l'extrémité de cette longueur répondrait a un point de l'échelle de pente, dont la cote serait moindre d'un mètre que celle du point situé sur la droite donnée. Ayant ainsi deux points cotés de cette échelle de pente, il serait bien facile d'en achever la graduation.

777. [Fig./i.) Par un point (io",3) situé sur un plan donné, tracer sur ce pion

une droite dont la pente soit i- On tracera une horizontale de ce plan dont la cote

diffère de celle du point donné, de 4° par exemple, et soit ainsi i4'"f 3? P"^> *^^ un rayon égal à 4 fois la base n de la pente assignée, et du point donné comme centre, on décrira un arc de cercle qui, en coupant l'horizontale choisie, fera cou-