CHAPITRE II. — MÉTHODE DES PLANS COTÉS

naître le point que l'on doit joindre avec le point donné pour avoir la droite demandée. On sent que ce prc^lème aura en général deux solutions, mais elles se réduiront à une seule, ou deviendront impossibles , si la pente assignée pour la droite égale ou surpasse celle du plan donné.

778. Etant donnée la projection d'un point situé sur un plan connu ^ trouver la cote de ce point. On mènera par cette projection une perpendiculaire sur l'échelle du plan, et la cote du point de rencontre sera celle du point proposé.

Si l'échelle du plan n'était pas construite, et qu'il fût représenté seulement par diverses horizontales, on pourrait appliquer sur le point proposé une règle divisée en millimètres, en la plaçant de manière que deux divisions entières tombassent sur les horizontales voisines ; par là, on apprécierait immédiatement la fraction de mètre qu'il faut ajouter à la cote de l'horizontale supérieure pour obtenir la cote du point en question.

779. {Fig. 5. ) Trouver l'intersection de deux plans P et P', donnés par leurs échelles graduées. On tracera, dans chaque plan, deux horizontales qui aient respectivement les mêmes cotes ; et la rencontre de ces quatre droites fera connaître deux points cotés de l'intersection demandée, ce qui en déterminera la projection et la pente, ainsi que la jÇ^. 5 le montre assez clairement.

780. {Fig. 6. ) Lorsque les horizontales des deux plans P et P' se rencontreront trop loin, on emploiera des plans sécants auxiliaires, par un procédé remarquable auquel il faut souvent recourir dans la théorie actuelle. Traçons deux parallèles a et fr dans une direction arbitraire, et regardons*les comme les projections de deux horizontales qui auraient pour cotes, l'une i a", l'autre 1 5™ ; dès lors ces droites a et 6 déterminent un certain plan P", dont il est facile de trouver, par le procédé du n® 779, l'intersection c avec le plan P, et l'intersection d avec P'. Or ces deux sections c et (/ se coupent en un point x^ qui appartiendra évidemment à l'intersecfion des plans primitifs P et P'; puis, on trouvera un second point x', en tirant deux autres parallèles horizontales a' et 6' : de sorte que xx' sera la projection de l'intersection demandée, et, pour achever de définir cette droite, il n'y aura plus qu'à trouver les cotes des points x et a:', ce qui s'effectuera par l'un des moyens indiqués aux n*» 765 et 778.

Ce procédé deviendrait indispensable, si les plans donnés P et F avaient leurs horizontales respectivement parallèles; mais alors un seul plan auxiliaire suffirait, puisque l'intersection demandée devrait être aussi parallèle aux horizontales primitives.

781. {Fig. 7.) Trouver l'intersection d'une droite et d'un plan donnés. On conduira, par la droite proposée, un plan auxiliaire dont les horizontales seront deux parallèles menées arbitrairement par deux points de cette droite; puis, en cherchant l'intersection de ce plan auxiliaire avec le plan donné, cette intersection

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coupera la droite propoiée au point demndé x. Il ra^tera à estimer la oote de ce

point, comme nous l'avons indiqué aux n^ 763 (st«778»

782. (Fig. 8.) On trouvera semblablement le point de rmeontre de deux droites données, qui seraient situées dans le même plan verticaU om qui auraient la même projection. Car, en conduisant par ehacune d^ellfs un plan arbitraire, l'intersection de ces deux plan$ ira passer par le point ebercbé, ibnt la cota t'estimera ensuite comme au tfi 765.

783. Par un moyen analogue, on pourra reoonnattra sî dmix dmiÈÊi dormées, dont les projections sont différentes, se coupwt effeeHvement; ear^ dans ce cm, il faudra que Tintersection des deux plans arbitraires eondtiits par ces droilM atHe passer par le point commun aux deux projections données; ou bien» on examiom s'il y a parallélisme entre les droites qui réuniraient les points afleetéa des ménMs cotes.

784. {PL 65 jfig. g.) Par un point donné (ro^j^)y côntluire un plan paraUèk à un plan donné. I/échelle de pente du plan cherché sera parallèle à celle du plan connu, et passera par le point donné. D'ailleurs, puisque HncUnaison doit être égale, il suffira de joindre le point ( lo*", 4) avec celui qui a la même cote sur l'échelle donnée, puis de mener à cette ligne de jonction, des parallèles par les autres divisions de l'échelle du plan connu.

785. {Fig. lo.) Par deux droites données, conduire deux plans ùui soient paraUèk entre eux. On mènera, par un point de la première droite, une parallèle à la seconde, et, par uu point de celle-ci, une parallèle à la première droite. Alors, en conduisant un plan par la première et la troisième droites, puis un autre plan par la deuxième et la quatrième, on obtiendra évidemment les deux plans demandés. On sent bien qu'ils se réduiraient à un seul, si les droites primitives se coupaient; ou qu'ils deviendraient indéterminés, si elles étaient parallèles.

786. D'un point donné (8™> a), abaisser xtne perpendiculaire sur un plan connu, U projection de cette perpendiculaire sera évidemment parallèle à la projection de l'échelle du plan^ mais leurs inclinaisons seront inverses Tune de l'autre j c està-dire que si la pente du plan donné est ? par exemplei celle de la droite cbtf"

chée sera y Alors, en prenant sur Téchelle horizontale du dessin une longueur

égale à 3 mètres, et portant cet intervalle sur la perpendiculaire indéfioiei au-dessous du point donné (8™, 2), on obtiendra un second point de cette perpendiculaire qui aura pour oote (8'",a w- 6») ou (i3»,a). Par là, otfte perpeudiculairt ^^ eomplétement déterminée! mais nous laisserons au lecteur le soiu à'aécuW^ constructions, ainsi que celles qui sont indiquées dans les numéros «uivanti.

787. Si d'ailleurs on cherche (n^ 78i ) le point de rencontre de cette perp^^'