CHAPITRE 111. — PRÉLlAfmAIRES SUR LES ENGRENAGES
Un pareil contact devra 8e reproduire pour tonte autre rotation satisfaisaut.à l'égalité des arcs parcourus par les points  et a; mais^ comme dans ce genre de niouveo^nt les deux profils AB et ab se déplacent simultanément, il n'est pas facile d'apercevoir la relation géométrique qui doit les lier entre eux : tandis que cela deviendrait fort aisé, si Tun de ces profils demeurait immobile. Nous allons donc tâcher de ramener la question à ce dernier état.
809. A cet effet, et lorsque les deux roues ont déjà pris la position où les dents sont devenues A'B' et afb'j faisons tourner tout le système autour du point O, sanâ alt^r la situation relative d'aucune de ses parties, et de manière que le rayon OA' reprenne sa position primitive OAZ, et le profil A'B' sa première situation AB. Par là, la ligne des centres 00' aura décrit l'angle O^OO^ correspondant à un arc AA,, égal à AA' : le cercle O' sera devenu le cercle O^, et le profil a'b' aura pris la position a^à^j qui devra évidemment se retrouver tangente au profil primitif AB, comme cela avait lieu pour a' 6' et A'B'. Mais, puisque les arcs A, A et A^^a sont les mêmes que AA' et Ao', qui ont par hypothèse la même longueur, il s'ensuit que ces arcs A, A et A^a^ sont aussi égaux entre eux; et de là résulte cette conséquence remarquable : le cercle 0„ avec son profil a^b,, nest autre chose que ce que deviendrait le cercle O' avec son profil ab, 51 ton faisait rouler ce dernier cercle, sans ff lisser, sur la circonférence O demeurée entièrement immobile , ainsi que son profil AB.
Et comme il en serait de même pour tout autre angle de rotation, satisfaisant à la condition AA' = aa-, on peut poser ce principe général : Lorsque deux cercles tangents O et O' tournent autour de leurs centres immobiles, de manière que leurs circonférences pi^nnent des vitesses égales, leurs positions relatives, et celles des courbes qu'ils entraînent avec eux, sont les mêmes que si l'on avait laissé le cercle O entièrement immobile, et qu'on eût fait rouler le cercle O' sur le premier.
810. {Fig. 3.) D'après cela, on voit que la propriété caractéristique de la courbe AB peut être énoncée comme il suit : Le profil AB doit être l'eitveloppe de toutes les positions a^b,, a^b,,..., qu occupera le profil ab, lorsqu'on fera bouler le cercle Cï sur le cercle O, qui demeure entièrement immobile. Ainsi , après avoir con« struit un certain nombre de positions O', , O3 , O'^ ,..., du cercle roulant O', avec les courbes correspondantes a, t,, a^b^j 0464,..., il n'y aura plus qu'à tracer une courbe Aee^e^... qui soit tangente à toutes ces enveloppées. Mais ce procédé fort simple, qui offrirait déjà une approximation suffisante dans beaucoup de cas, acquerra toute la précision désirable, si nous donnons, comme nous allons le faire, un moyen de trouver la position même des points de contact.
811. (Fig. 3.) Observons, d'abord, que l'enveloppe de toutes les courbes ab^ a^b^j «s fr»vM n'est autre chose que le lieu des intersections consécutives t, i', î",..., de toutes ces courbes supposées infiniment voisines; car ce lieu aurait évidemment
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deux points coramuns avec chacune de ces enveloppées, et conséquemment il serait tangent à chacune d'elles.
Cela posé, si l'on considère le cercle individuel O3 avec l'enveloppée correspondante ^3 b^^ et qu'on mène à celle-ci une normale A^e^ partant du point de contact du cercle mobile, je dis que e^ sera le point de contact de l'enveloppe AB sur la courbe a^ 63. En effet, pendant la rotation du cercle O3 pour passer à une position infiniment voisine, le point e^ décrit (n** 474) un petit arc circulaire 636 qui a pour rayon la distance A^eg ; or, puisque cette droite a été choisie normale à la courbe ^^363, l'arc 63 Ê sera tout entier sur l'enveloppée a, 6,; donc le point s se trouvera commun à l'enveloppée a^b^ et à celle qui la suit immédiatement, et dès lors ce point appartiendra à l'enveloppe cherchée AB. Mais cette enveloppe passerait aussi par un point analogue e' situé à gauche de ej, et qui serait Tintersection de la courbe a^b^ avec l'enveloppée qui la précède immédiatement; donc l'élément e'e,! se trouve commun à l'enveloppée âf, ^3 et à l'enveloppe générale AB : par conséquenty le contact de ces deux lignes est bien en Cj, et leur nonnale commune est A3 ty
812. D'après cela, quand l'enveloppée ab sera définie géométriquement, on saura mener à ses diverses positions des normales partant des points Aj, Aj,.-» lesquelles feront connaître autant de points ej, eg,..., de l'enveloppe générale. Si l'enveloppée ab n'est donnée que graphiquement, après l'avoir transportée dans la position agtj par exemple, on cherchera une ouverture de compas telle, qu'en décrivant du centre A3 un arc de cercle, il touche simplement la courbe in, 63 ; une petite portion de cet arc appartient sensiblement à l'enveloppe, et en raccordant tous les arcs semblables par un trait continu, on obtiendra l'enveloppe cherchée avec une exactitude suffisante pour la pratique. Néanmoins ce tracé offrirait encore plus de précision, si on l'effectuait avec les rayons des cercles osculateurs de l'enveloppe; c'est pourquoi nous allons donner le moyen de trouver ces derniers.
815. {PL 66, fig. 4-) Centres de courbure de [enveloppe. Soit O' une position quelconque du cercle mobile qui touche le cercle fixe O au point a\ soient aé l'enveloppée correspondante à cette situation, AmB l'enveloppe générale, Cet C les centres de courbure de ces lignes pour le point de contact m, centres qui doivent être sur la normale commune a.m^ et dont le premier est censé connu par la définition de la courbe amb. Si l'on prend sur les cercles primitifs deux arcs aa, etaoî' qui soient égaux en grandeur absolue et infiniment petits, la droite Q»a^m^ sera une normale de l'enveloppe, et Cm' a! une normale de l'enveloppée; car le centre de courbure G ou C doit être l'intersection de la normale a m avec une normale innniment voisine. Or, quand la rotation du cercle O aura amené le point «'en contact avec a,, les deux normales Ca. et C'a' se trouveront nécessairement en ng"^ droite, ainsi que les deux rayons Oa< et O'a'; d'où Ton conclut que les anglesOtf*^ et O'a'C doivent être égaux actuellement, puisqu'ils ne changeront pas de gran-
