CHAPITRE m. — PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES
deiir pendant le rouiement du cercle O'. Cela posé, en désignant par © l'angle OaC=:0'aC', on a évidemment
O a , C = 9 4- O ~ C, O V/ C/ = y + C - O' ; d'où il résulte, en égalant ces deux expressions, (a) 0-i-0' = Ç4-C'.
Pour estimer ces derniers angles, il faut employer les arcs décrits de leurs sommets avec un rayon égal à l'unité, et comparer ces arcs avec (la.^ et a^tj! que Ton doit regarder comme une seule ligne droite perpendiculaire à OaO'. Dès lors, en posant
Oa = R, Cm = p, O'a = R', Qlm = p', a.m = p, aa, = a^Cf! = c/s,
et en décrivant avec le rayon C a ou C'a un arc de cercle qui aura évidemment pour longueur e/^.cos ç, on trouvera aisément
angleO=~» 0' = -,, C =:^ ^, C'=: . ^',
puis, en substituant ces valeurs dans Tégalité précédente (a), il viendra
(A^) [— ^ -7-7— ) COS© == i -h ~ :
^ ^ \f^—p p-^pj ^ R R'
formule très-simple qui fera connaître le rayon de courbure p de Tenveloppe , et, par suite, son centre de courbure C, quand on connaîtra le rayon p' de l'enveloppée, et les quantités p eif qui seront déterminées pour chaque position du cercle mobile O'. Mais nous allons donner, de cette formule, une traduction graphique qui dispensera de tout calcul.
814. On prévoit aisément, sans tracer une nouvelle figure, qu'on devra changer le signe de p' dans cette formule, quand le centre O tombera du même côté que C par rapport au point m : il en &udra faire autant pour R% si le centre O' est placé du même côté queO relativement au point de contact a des deux cercles. Ainsi, dans le cas de lay?^. 5, l'équation (À) prendra la forme
qui est bien symétrique dans toutes ses parties. Sous ce point de vue, il eût été plus rationnel d'établir la démonstration sur la fig. 5, où les centres sont placés d'un même côté de la tangente ; mais comme ce dernier cas se présente beaucoup plus rarement dans les engrenages, nous avons voulu fixer l'attention du lecteur sur les données les plus habituelles.
Les formules (A) et (B) et celles du n® 817 sont dues à M. Savarjr, qui les avait données dans ses Leçons de machines à l'École Polytechnique, ainsi que la con* stniction graphique fort élégante que nous allons exposer.
813. (Fijf. 6.) Joignons par des droites les centres O et C, (y et C; puis, en
prolongeant ces droites, cherchons les points D et D' où elles iront couper la perpendiculaire aD élevée sur la normale commune CaC : il arrivera que ces deux points D et D' seront confondus. En effet, si des centres O et O' on abaisse des perpendiculaires sur la normale CaC, on formera des triangles qui seront semblables avec CaD et C'aD', et desquels on tirera aisément
"^~Rcosy-(p-/>)' ^^ ""(p'-h/.)-.R'cos?
Or la formule (A) donne, en transposant le deuxième et le troisième terme,
Rcos«p — (p — /?) (p'-^p) — R^cosy
(P-/.)R. - (p'-hp)K^ '
ce qui prouve que les valeurs précédentes de aD et aD' sont bien égales.
816. Ainsi, quand on connaîtra le centre de courbure G pour le poinl m de Tenveloppée amby on tirera la droite C'O' que Ton prolongera jusqu'à ce qu'elle rencontre en un point D la perpendiculaire aD élevée sur la normale amC] puis, en joignant ce point D avec O, la droite OD ira couper la normale prolongée C'a au point C, qui sera le centre de courbure de l'enveloppe AmB pour le point m. Lorsque l'enveloppée ambj au lieu d'êlre définie par ses propriétés géométriques, ne sera donnée que graphiquement, on tracera plusieurs cercles tangents en m à cette courbe, et en choisissant celui d'entre eux qui approchera davantage de se confondre avec ab dans les environs de m, son centre pourra être pris pour le point C.
Dans tous les cas, si, avec les rayons tels que Cm, on décrit de petits arcs de cercle, et qu'on les raccorde par un trait continu, on obtiendra le tracé de l'enveloppe AmB de la manière graphique la plus exacte.
817. {Fig, 4') Avant d'appliquer ces résultats à divers exemples, nous placerons ici une remarque importante pour la théorie des engrenages; c'est que, pendant la rotation du cercle O' sur le cercle fixe O, la courbe amb ne roule pas simplement sur AmB, mais elle glisse en même temps sur cette dernière (n®469), d'où il résulte entre les dents des deux roues un frottement qui consomme une partie de la force motrice. En effet, lorsqu'à une époque quelconque les cercles O et O' se touchent en a, le contact m de l'enveloppe avec l'enveloppée est donné par la normale CamC, menée de ce point a; donc, quand un déplacement infiniment petit aura fait toucher les cercles par les points a' et a,, les normales correspondantes seront les droites C'a' et Ca,, qui vont déterminer les points m' et m,, par lesquels l'enveloppée et l'enveloppe se toucheront à cette seconde époque du mouvement. Or, si les arcs mm' et mm^ ne sont pas égaux et dirigés dans le même sens, il est clair qu'il y aura glissement de l'une des courbes sur l'autre : calculons donc ces arcs.
