CHAPITRE III. — PRÉLIMINAIRES S13R LES ENGRENAGES

I/arc mmt fait partie du cercle osculateur de ÂmB, et il est semblable à l'arc qui serait décrit avec le rayon Ca, et que nous avons déjà dit (n^ 813) être égal à ds. cosf. Ainsi on trouvera

pcmf,ds , ù' COS9. ds

mm, = ^ ' — 9 mm' = ^ , ^ — :

d'où

mmi

-"'"''={-pr^-f^)^9'ds = {i+i)pàsy

en réduisant d'après la formule (Â). D'ailleurs, si l'on considère un déplacement de grandeur finie, représenté par f — s' sur le cercle fixe, la différence des arcs parcourus sur l'enveloppe et l'enveloppée par leur point de contact sera donnée par l'intégrale définie

donc, en excluant le cas inusité où la portion de normale am = p changerait de signe dans l'intervalle de ^ à fy il est certain que cette intégrale, composée d'éléments tous /^osiVf/s^ ne sera jamais nulle; et, par suite, il y aura toujours un glissement entre les courbes amb et AmB.

818« Nous ne nous arrêterons pas au cas très-particulier où p serait supposé constamment nul ; car cela exigerait que l'enveloppée et l'enveloppe fussent confondues avec les circonférences CK et O. Si l'un des deux centres C, G ét^it situé entre a et m, on doit apercevoir, sur la jîjf. 4> que les points m, et m' seraient placés l'un à gauche et l'autre à droite de m; mais, comme alors un des arcs mm^ et mm' serait négatif, ce serait encore leur différence analytique qui donnerait l'écartement des points m^ et m', de sorte que l'intégrale & s'applique aussi à ce cas. Enfin, lorsque le roulement est intérieur, comme dans la fig. 5, celte intégrale prendra la forme

maïs, puisque, dans ce cas, tes rayons R et R' sont nécessairement inégaux, la différence â' des arcs parcourus par le contact se trouvera encore différente de zéro, et il y aura toujours un glissement entre l'enveloppe et l'enveloppée, pourvu que p ne change pas de signe dans l'intervatle que l'on considère.

Revenons maintenant à la construction graphique des centres de courbure d'une enveloppe, en prenant pour exemples les cas employés le plus ordinairement dans les engrenages.

819. {PL 67, fig. 9.) Enveloppe d'un point mobile. Si l'enveloppée se réduit à un point unique a placé sur la circonférence même du cercle mobile O'", l'enveloppe ne sera autre chose que la courbe décrite par ce point, c'est-à-dire l'épicycloide

35o LIVEE IX. — ADDITIONS.

simple âMB : ce serait répicycloîde allongée a'M'B', si le point générateur était placé en o! à l'extérieur du cercle mobile; et s'il était placé intérieuremenl en d*, il donnerait lieu à l'épicycloïde raccourcie a"M''B". On a vu précédemmenr (n®' 471, 473) combien il est facile de trouver les points M, M', M" de ces courbes, qui répondent à chaque position du contact a du cercle mobile C; et que les normales correspondantes sont les droites a M, aM', aW. Maintenant, pourobte» nir les centres de courbure, il faut, suivant la règle du n*' 816, élever sur chaque normale une perpendiculaire aD, aD' ou aD", et la prolonger jusqu'à ce qu'elle coupe le diamètre MO' : puis, en joignant le point de section D, D' ou D", avec le centre O, par une droite, cette dernière rencontrera le prolongement de la normale au centre cherché C, C ou C".

820. {Ficj. 9.) Pour Tépicycloide simple AMB, on voit bien que, sans tracer la perpendiculaire aD, le point de rencontre avec MO sera toujours à 1 extrémité D de ce diamètre; en outre, la suite des centres de courbure analogues à C formera une développée ACE, qui sera elle-même une nouvelle épicjrcloïde y que l'on peut déterminer à priori de la manière suivante. Après avoir élevé la perpendiculaire Ce sur la normale, on décrira un cercle qui ait pour diamètre Tintervalle aê, et un autre cercle qui ait pour rayon 06 : puis, en faisant rouler le premier sur le second, le point C engendrera la développée ACE. Pour justifier cette assertion, adoptons les notations suivantes :

Oa=:R, 0'a = R', Og = r, aî = %r']

puis, observons qu'à cause de aD = MT, on a évidemment

Og:Oa::êC;aD::aê:aT; ce qui donne la relation

r : R : : r' : R'. D'ailleurs R = r -h a r' ; d'où l'on conclut