CHAPITRE III. —PRÉLIMINAIRES SUR LES ENGRENAGES. 35l

821 . Pour le sommet B de Tépicycloïde primitive^ le centre de courbure est évidemment placé à Torigine E de la développée ACE; mais, comme la règle générale du n® 816 devient insuffisante pour obtenir ce centre particulier E, à cause de la coïncidence de plusieurs lignes, il importe de savoir le trouver directement. Or la valeur de r = OE, qui a été donnée ci-dessus, fait voir que si l'on décrit sur OB comme diamètre une demi-circonférence, elle coupera le cercle primitif du rayon OA en xm point G tel, que la perpendiculaire GE fournira le point cherché E.

822. On a vu au n® 199 que, daos une courbe quelconque, un arc de la développée est toujours égal à la différence des rayons de courbure qui aboutissent à ses extrémités. Donc ici Tare AG égale la droile CaM; et la demi-branche ACE aura pour longueur EB= ar'-h aR'; mais, pour n'employer que les éléments même de l'épicycloïde ACE, il faudra substituer pour R' sa valeur en fonction de r et r', tirée des formules du n° 820, et l'on trouvera

ACE = 4 r' + i^ ;

résultat qui peut se construire aisément sur la figure.

822 bis, La cycloïde ordinaire dont nous avons parlé au n^ 478, se déduit de l'épicycloïde, en supposant in/înf le rayon du cercle fixe, ce qui change ce dernier en xine droite sur laquelle roule le cercle mobile. Si donc on applique à X^fig, 8, PL l\'jj la règle du n** 816, on trouvera que, par l'extrémité du diamètre MO'c?, il faut tirer une droite qui aboutisse au centre du cercle fixe, c'est-à-dire ici une perpendiculaire de sur la base DAF; et que la rencontre de cette droite c?C avec la normale MA prolongée, fournira le centre de courbure C relatif au point M. Il en résulte évidemment que le rayon de courbure MAC de la cycloïde est toujours double de la normale MA ; et conséquemment, pour le sommet G, le rayon de courbure GE est égal au double du diamètre du cercle mobile. De là on conclura aisément que la développée DCE est une autre cycloïde égale à DGF, et que la longueur totale de cette branche DGF est égale à quatre fois le diamètre du cercle générateur O'.

823. [PL ô'jjfiy* lo.) Enveloppe d\m cercle. Soient O le cercle fixe, et O" le cercle mobile qui, en roulant sur le premier, entraîne avec lui un petit cercle w dont le centre est fixé sur la circonférence O". Adoptons pour position initiale celle où le centre w se trouve coïncider avec le point de contact A des cercles O etO''; alors, quand ce dernier aiira roulé jusqu'en O', où il touche le cercle 0 en a, il faudra prendre l'arc aM égal à a A ; puis, du point M comme centre, avec le rayon donné r, décrire un cercle amb qui représentera la position actuelle de w. La série des points M, Ma,..., formera d'abord une épîcycloïde AMjM; ensuite, d'après le n^ 8H, il faudra mener du point de contact a, une normale aM à l'enveloppée

35^ LIVRE IX. — ADDITIONS^r

aniby et les points de rencontre m et m' appartiendront à Tenveloppe demandée, laquelle se composera ici de deux branches^ Tune intérieure em, l'autre extérieure s'm\ Ces deux enveloppes auront évidemment les mêmes normales que Tépicycloïde ÂM; conséquemment, elles auront aussi les mêmes centres de courbure et la même développée ACE que l'épicycloïde, ainsi qu'on y serait conduit forcément en appliquant à l'une ou à l'autre le procédé graphique du n** 816. Mais leurs rayons de courbure, tels que Cm ou Cm', seront tous plus petits ou tous plus grands que ceux de AM, de la quantité constante Mm = r; de sorte que ces trois courbes seront équidistantes partout, dans le sens de leurs normales communes.

824. Chacune de ces enveloppes présente un rebroussement à l'endroit où elle vient rencontrer la développée ACE. Pour déterminer le point £, il faut observer que, les points m et C s'étant rapprochés jusqu'à coïncider, alors le rayon de courbure de Tépicycloïde est devenu égal à M m = r. Si donc on l'egarde celle épicycloïde comme l'enveloppe de l'espace parcouru par le point co du cercle roulant O"', et qu'on lui applique la formule (A) du n® 813, en observant que la normale désignée alors par p est ici la corde a M du cercle mobile^ on verra qui! faut poser, dans cette formule,

p = rj p'^=Oj p=aR'cos<p,

d'où l'on déduira aisément

Dès lors, en prenant sur la circonférence O, à partir du point A, un arc égal à celui qui, dans le cercle O", a pour corde la valeur que nous venons de trouver pour fy on obtiendra le point de contact a! qui répond au rebroussement cherché 6 ; et ensuite ce dernier point se construira facilement, comme on l'a fait pour le centre C au moyen de a.

Au lieu d'appliquer la formule (A) du n® 813 à l'épicycloïde AM, on aurait pu l'appliquer directement à l'enveloppe em dont le rayon de courbure devient nul pour le point cherché 6. Alors il aurait fallu poser dans cette formule p z= o, p' = r, p' = a R' cosf — r,

car la normale p' serait ici la droite am ; et l'on aurait obtenu

P "~ 2(R-f.R')' valeur négative, parce que la normale p' = am, coïncidant avec aC, se trouverait en dedans du cercle O. Mais de là il aurait fallu conclure la grandeur de la corde aM = p'-f- r, ce qui aurait ramené à la valeur trouvée ci-dessus pour/?.

825. La seule partie de ces enveloppes qui soit utile dans les applications aux engrenages, c'est la branche €m, ou, pour parler plus exactement, c'est la portion